高考数学法向量在立几中的应用测试3

法向量在立体几何中的运用孟志霞[e-mail]河北省三河市第一中学065200在高中立体几何中引入了空间向量，大大降低了立体几何解题的难度．法向量的引入，对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助．下面简单介绍法向量在立体几何中运用．一、点到平面的距离.（先确定平面的法向量，再求点与平面上一点连结线段在平面的法向量上的射影长．设n是平面的一个法向量，0P是平面外一点，P是平面内一点，则点0P到平面的距离nnPPd0）．例１.如图,在四棱锥ABCDS中,2ABCDAB,SA平面ABCD,且aBCABSA,aAD2,求点A到平面SCD的距离.解：取ASABAD,,的方向分别为轴轴，轴，zyx的正方向，建立空间直角坐标系，则0,,0aB，0,,aaC，0,0,2aDaS,0,0.aaSD,0,2,aaaSC,,设平面SCD的法向量为zyxn,,，02,,0,azaxSDnazayaxSCn即即.所以可令2,1,1n，点A到平面SCD的距离nnSAd=a36.二、两条异面直线间的距离.（先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长．设ba,是异面直线，n是ba,公共法向量，点ADSCBxyz,,bFaE则异面直线ba与之间的距离nnEFd）。例２.如图，已知ABCD是正方形，PD平面ABCD，1ABPA，FE,分别是PDPB,的中点，求异面直线AE与CF之间的距离。解：以D为原点，建立空间直角坐标系，,0,0,1,,CzyxDPDCDA轴，则轴，轴，为1,0,0,0,1,0,0,1,1PAB21,21,21E，21,0,0F，AE21,21,21，21,0,1CF，0,21,21EF，zyxn,,是异面直线AE与CF的公共法向量，则nCF即x210z；nAE即21x21y＋z21=0.所以n=2,3,1,所以异面直线AE与CF之间的距离714142nnEFd．三、直线与平面的夹角．（求斜线与平面的法向量夹角的余角）.例３.如图,在直三棱柱111CBAABC中,底面是等腰直角三角形,090ABC.侧棱21AA,ED,分别是1CC与BA1的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.1求BA1与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示);2求点1A到平面AED的距离.(1)建立如图坐标系,设aCA,则0,0,0C,0,,0aB,aaA,0,,2,0,01C,2,0,1aA,DaaE,1,2,21,0,0,31,3,3aaG则1BA=0,,aa，32,6,6aaGEDCFABEPxyxDGACBA1C1B1Ezy1,,0aBD，0GEBD203262aa，则1BA=2,2,2，32,31,31GE,取平面ABD法向量为32,6,6aaGE，则GE与1BA夹角为BA1与平面ABD所成角的余角.所以cos32,111GEBAGEBAGEBA,所以BA1与平面ABD所成角为32arcsin.(2)由(1)知1,1,1,1,1,1,1,0,21EAAEAD,设平面AED的法向量为zyxn,,,ADn,即02zx,,AEn即0zyx,所以令法向量2,1,1n.所以点1A到平面AED的距离为3621nnEAd.四、两个平面的夹角.（求两个平面的法向量的夹角）。例４.过正方形ABCD的顶点A，引ABCDPA平面，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小．解：以A为原点，APADAB,,分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图。则0,0,0A，1,0,0P，1,1,0C,0,1,0D,则,1,1,1PC，,1,1,0PD.设平面PCD的法向量为zyxn,,,PCn,即0zyx；PDn，即0zy．所以可令1,1,0n；设平面ＰＡＢ的法向量为0,1,01n，所以平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成的二面角的余弦值为2221,cos111nnnnnn．所以平面ABP与平面CDP所成的二面角的平面角为4．既然可以利用两个平面的法向量求两平面的夹角，也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直．如下面的例５．可以先求两平面的法向量，再计算它们的数量积．例５.如图，正四棱柱1111DCBAABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，FE,分别为棱BCAB,yDACBB1D1A1C1EFxzPBAzxCyD的中点.求证：平面EFB1平面11BBDD解：以D为原点，1,,DDDCDA分别为轴轴，轴，zyx建立空间直角坐标系，则0,22,22B，0,2,22E，0,22,2F4,0,01D4,22,221B0,2,2EF4,2,01EB,4,0,01DD,设平面EF的法向量为zyxn,,，则x2y2=0；,1EBn即042zy.所以令n=2,4,4设平面11BBDD的法向量为1n=111,,zyx,1n1DD,即41z=0;1nDB,即02222yx.所以可令0,2,21n．2nn2,4,42,4,4＝０平面EFB1平面11BBDD.0,22,22DB