高考数学点与直线直线方程练习

点与直线直线方程一.教学内容：点到直线的距离；点关于点、关于直线的对称点；直线关于点、关于直线的对称直线；直线方程复习；二.知识点：1.点到直线距离公式及证明dAxByCAB||0022关于证明：根据点斜式，直线PQ的方程为（不妨设A≠0）yyBAxx00(),即，BxAyBxAy00解方程组AxByCBxAyBxAy000，得，xBxAByACAB20022这就是点Q的横坐标，又可得xxBxAByACAxBxAB0200202022AAxByCAB()0022，yyBAxxBAxByCAB000022()()，所以，dxxyyAxByCAB()()()020200222||AxByCAB0022。这就推导得到点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式。如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。设点Q的坐标为（x1，y1），则AxByCyyxxBAA11101000,()≠，把方程组作变形，AxxByyAxByCBxxAyy()()()()()10100010100，①②把①，②两边分别平方后相加，得()()()()ABxxBAyy2210222102()AxByC002，所以，()()()xxyyAxByCAB10210200222，所以，dxxyy()()102102||AxByCAB0022此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下：设，、，是直线上的任意两点，则PxyPxyl111222()()AxByCAxByC112200③④把③、④两式左右两边分别相减，得AxxByy()()12120，由向量的数量积的知识，知nPP·，210这里n=（A，B）。所以n=（A，B）是与直线l垂直的向量。当与的夹角为锐角时，nPP10dPP||cos10，（如图所示）当与的夹角为钝角时，nPP10dPPPPPP||cos()||cos|||cos|101210180°（如图所示）所以，都有dPP|||cos|10，因为nPPnPP···，1010||||cos所以dnPPn||||·10|(,)()|ABxxyyAB·，010122|()()|AxxByyAB010122||AxByCAB0022()因为，所以AxByCAxByC111102.平行线间的距离公式3.点关于点的对称点（中点坐标公式）4.已知P0（x0，y0）直线l：Ax+By+C=0（B≠0）点，关于直线的对称点：Pxyl000()设为，Pxy111()则·AxxByyCyyxxAB010110102201()特别地关于特殊直线的对称点。（x轴、y轴、直线y=x，直线y=－x）5.直线l关于点P0（x0，y0）对称直线（三种方法）6.直线关于直线的对称直线三种方法llAxByC11110()特别地直线l关于特殊直线y=±x+b的对称直线。【典型例题】例1.求与直线：平行且到的距离为的直线的方程。lxyl512602解法一：设所求直线的方程为，5120xyc在直线上取一点，，512600120xyP()点到直线的距离为Pxyc05120dcc||()||121251261322×由题意，得。||c6132∴c=32或c=－20，∴所求直线方程为和。512320512200xyxy解法二：设所求直线的方程为5120xyc，由两平行直线间的距离公式，得，解之，2651222||()c得或。cc3220故所求直线的方程为512320512200xyxy和。小结：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两条平行线之间的距离，转化为点到直线的距离。也可以直接套两平行线间的距离公式。dCCAB||2122例2.已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为x+3y－5=0，求其他三边所在的直线方程。解：正方形中心G（－1，0）到四边距离均为||151361022。设正方形与已知直线平行的一边所在直线的方程为x+3y+c1=0。则，即。||||1106101611cc解得或。cc1157故与已知边平行的边所在直线的方程为x+3y+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为3x－y+c2=0。则×，|()|31106102c即，||c236解得或。cc2293所以正方形另两边所在直线的方程为：390330xyxy和。综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为：xyxyxy370390330、、。小结：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程。例3.求直线关于直线对称的直线的方程。xyxy21010解法一：由，，得，xyxyxy2101010∴点（1，0）为两已知直线的交点。设所求直线的斜率为k，由一条直线到一条直线的角的公式，得，。112112112kkk故所求直线方程为yxxy21220()，即。解法二：由解法一知两已知直线的交点为A（1，0）。在直线上取一点，，xyB210012()设点关于直线的对称点为，，则BxyCxy1000()0212210120110000xyyx，·()()解得，。xy00321∴点的坐标为，。C()321直线的方程为，，ACyxxy0101321220即直线关于直线对称的直线的方程为。xyxyxy21010220解法三：设P（x，y）是所求直线上的任一点，P关于直线x＋y－1＝0对称的点为P0（x0，y0），则在直线上。Pxy0210∴，xy00210kyyxxPP000，线段的中点是，。PPMxxyy00022()∵点与点关于直线对称，PPxy010∴×，。yyxxxxyy0000112210()∴，。xyyx0011代入，得xy0021012110yx()，即为所求。220xy解法四：直线x+y－1=0k=－1由x+y－1=0xyyx11代入x－2y－1=0得1－y－2(1－x)－1=02x－y－2=0即为所求。小结：求直线l关于直线l1对称的直线的方程，只要在l上取两点A、B，求A、B关于l1的对称点A'、B'，然后写出直线A'B'的方程即为所求。解法二和解法三中，都用到了求一个点P关于某直线l的对称点P0的问题。这个问题的解法就是根据：①直线P0P与直线l垂直；②线段P0P的中点在直线l上，列出方程组解出x0、y0，代入x0、y0所满足的方程，整理即得所求直线的方程。例4.求经过直线和的交点，且在两坐标轴上的32602570xyxy截距相等的直线方程。解法一：由方程组，，32602570xyxy得，。xy43∴两已知直线的交点为（－4，3）。当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等。∴所求直线的方程为，yx34即。当所求直线不过原点时，340xy设所求直线方程为，xya因为点（－4，3）在直线x+y=a上，∴，，431aa故所求直线方程为。xy10综上所述，所求直线方程为或。34010xyxy解法二：∵所求直线经过直线和直线的交点，32602570xyxy所以可设所求直线的方程为。3262570xyxy()(*)在式中，令得；(*)xy07625令得。yx07632由题意，得。76257632所以或。6713把和分别代入式整理，6713(*)即得和。34010xyxy小结：解法一设直线的截距式时注意了截距为0的情形。故而没有直接设成xayaAxByCAxByC10111222的形式，解法二中用到了过两直线与＝的交点的直线系方程：。0AxByCAxByC1112220()例5.已知两条直线：，：，求分别满足下laxbylaxyb124010()列条件的a、b的值。（1）直线l1过点（－3，－1），并且直线l1与直线l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等。分析：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法。解：()()()111012∵⊥，∴·llaabaab20①又点（－3，－1）在l1上，∴②340ab由①、②解得a=2，b=2。（2）∵l1∥l2且l2的斜率为1－a。∴l1的斜率也存在，ababaa11，故l1和l2的方程可分别表示为laxyaa11410：，()()laxyaa2110：。()∵原点到l1和l2的距离相等，∴，或411223||||aaaaaa因此，，或，abab22232小结：在（2）中由于l1∥l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率，即b≠0。例6.已知函数，求的最小值，并求取得fxxxxxfx()()222248最小值时x的值。解：∵fxxxxx()222248()()()()xx1012022222它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值。由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。∴的最小值为fx()()()12121022再由直线方程的两点式得方程为。ABxy'340令得。当时，的最小值为。yxxfx0434310()小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。例7.用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。证明：建立如图所示的坐标系，A（a，0），B（0，b），C（－a，0），（a＞0，b＞0），则直线的方程为，ABbxayab0直线的方程为BCbxayab0设底边AC上任意一点为P（x，0）（－a≤x≤a），则到的距离PABPEbxababbaxab||||()2222PBCPFbxababbaxab到的距离为||||()2222ABChbaabababab到的距离||22222∵||||()()PEPFbaxabbaxabababh2222222∴原命题得证。例8.等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x－y＝0，一条直角边所在直线l经过点（4，－2），且此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标。解：设直角顶点为C，C到直线y=3x的距离为d，则··，12210dd∴，设的斜率为，则°dlkkkk1031345112tan∴的方程为，即lyxxy2124280()设是与直线平行且距离为的直线，lyx'310则与的交点就是点，设的方程是，llClxym''30则，∴±，||mm101010∴的方程是±lxy'3100由方程组及得点坐标是，或xyxyxyxyC