对新教材第三册(选修)第一章《概率与统计》的认识及教学建议一、增加本章内容的背景与作用在全日制普通高级中学《教学大纲》中,增加概率与统计的初步知识是高中数学教学内容改革的重要组成部分。《高中数学课程标准》的框架设想中指出,中学的概率与统计的教学,是中国数学教学的弱点,现在正在大力弥补。由于概率、总体、样本等的概念很复杂,对高中学生来说难以严格地说清楚,所以新教材中采用描述方法来说明。由于概率统计知识与日常生活、自然知识、社会生产实践的联系紧密,而日常生活中许多事件的发生往往是随机发生的,这与中学数学中长期占统治地位的确定性数学研究的对象有很大的不同,但它在数学众多分支中别具一格,与众不同。教材中按排概率与统计的教学内容主要是培养学生的随机观念,弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻划的,会用随机观点处理随机现象,知道统计结果是概率地呈现的,可以有误差。这样可使学生感觉到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。高中概率与统计内容教学的线索应该是:提出问题、收集资料、整理资料、解释资料、研究资料特征,做出统计判断,要使学生经历这样的全过程。数据处理需要学生参与。数据处理和概率的教学,主要依靠编制事例,提出课题,进行实际问题的处理。在本章的第二部分“统计”中,教材选择了数理统计中最基本的问题来介绍这门学科的思想和方法。第一个问题,就是采集样本。有样本才能作统计推断。抽样方法就是介绍怎样科学、合理公正地采集样本,教材介绍了简单随机抽样是最基本的抽样方法。第二个问题,就是从样本中分布估计总体的分布。教材首先介绍了总体分布的意义,并且实际例子介绍了用样本的频率分布估计总体分布。第三个问题,就是假设检验。教材利用线性回归的内容,介绍了相关系数的假设检验,通过具体的操作方法,介绍了假设检验的基本思想。首先作出一个统计假设,在此假设下某些随机事件是否发生,从此来判断事先所作的统计假设:拒绝这个假设,还是接受这个假设。这种处理的方法,避免了对假设检验的理论上的论述,使学生更容易理解和掌握,降低了这部分内容的理论难度,这是教材体现大纲中所要求的数学教学内容应是在理论上、方法上、思想上是最基本的指导思想。教材还借此介绍了在实践和理论中均占有重要地位的呈正态分布的总体一些基本知识。并且教材中还介绍了变量间的相关关系的一种最简单的模型——一元相关系及其研究它们的回归分析的思想与方法,这是随机变量知识的进一步发展和应用,综合地体现了前几节知识的应用,从抽样获得数据,而这些数据都是带有一定随机性的变量,到概率地呈现回归直线,再对数据的线性进行假设检查,这是综合运用前面知识解决一个简单的实际问题,使学生初步体会统计知识的实用价值,并使学生的应用能力和动手能力得到锻炼。二、本章结构、内容及课时安排1.本章知识结构图2.本章教学目标及课时安排(略)三、教学中应注意的问题1.注意把握教学的深浅度本章内容重在介绍概率与统计的一般的基本概念,很少涉及更具体内容的讨论,例如随机变量所服从的一些特殊分布,数字特征(即特征数)值。教材中所介绍的知识仍属于概率与统计中最基础的知识,因此一些知识点在道理上是难以说清的。在教学中要将着眼点放在一些重要概念的实际意义上,突出概率统计的基本思想方法,突出概率统计知识的实际应用,注意防止随意扩大教学范围,要重其所重,轻其所轻,把握教学的深浅度,抓住教学要求。例如,可不必严格证明对于简单随机抽样来说,在整个抽样过程中总体的每个个体被抽取的概率相等;不必从理论上去探讨正态分布的性质;不必假设检验作更深入的比较等等。教学中,要注意通过教材中的基本内容,让学生了解和理解从中反映出来的基本的概率与统计的思想,例如从样本估计总体的思想,必然与偶然,原因与结果的辩证关系,估计的思想,概率的观点,并了解所学知识在实际中的简单应用。2.注意加强知识的前后联系本章内容与初中的“统计初步”,高中第二册的“排列、组合和概率”的联系非常密切,在教科书的编写中,注意沟通前后知识的联系,使整套教科书成为一个有机的整体,提高教学效益。例如,在高二“排列、组合和概率”中,有一个重要内容“独立重复试验”,作为这部分内容的自然扩展,本章中安排了二项分布,并介绍了服从二项分布的随机变量的期望与方差,使随机变量这部分内容比较充实一些。本章第二部分“统计”与初中“统计初步”的关系十分紧密,可以认为,这部分内容是初中“统计初步”的十分自然的扩展与深化。但由于学生在学习初中的“统计初步”后直到学习本章之前,基本上没有复习“统计初步”的内容,对这些内容的遗忘程度会相当高,因此,本章在编写时非常注意联系初中“统计初步”的内容来展开新课。例如,在讲抽样方法的开始时重温:在初中已经知道,通常我们不是直接研究一个总体,而是从总体中抽取一个样本,根据样本的情况去估计总体的相应情况,由此说明样本的抽取是否得当研究总体来说十分关键;这样就会使学生认识到学习抽样方法十分重要。3.要突出概率统计的基本思想方法虽然中学里的概率统计仅介绍一些初步知识,理论要求不高,但其基本思想方法与较高深的概率统计是一脉相通的,随机、概率、用样本估计、总体、抽样等基本思想方法已渗入中学有关内容之中,如果对这些基本思想方法有所感悟,不仅可以加深对所学知识的理解,正态分布总体分布估计线性回归离散型随机变量连续型随机变量简单随机抽样系统抽样分层抽样分布列期望方差概率随机变量统计抽样方法而且可为今后继续学习概率统计打下基础,概率统计思想是数学思想在这门学科中的具体体现,它的实质是“随机”、“变化”、“个别”与“规律”、“静态”、“整体”的辩证统一,要求人们在处理问题时必须透过偶然的表面现象揭示规律的实质。如果把概率统计的知识视为硬件的话,那么概率统计的思想方法就是软件,它是完善学生认知结构、提高学生能力和素质的基本要素之一。因此概率统计的教学,不能重结果,轻过程,更不能只停留在对结论的纯计算上,应当引导学生去发现结论。高斯说过“数学发现比论证更为重要”,教师应善于设置教学情景,抓住教学机遇,激励学生探索求知,让学生在不知不觉的探索过程中,在教师的潜移默化的影响下,逐步形成较为完整的概率统计思想。4.重视对学生进行人文教育数学的发展都具有非常丰富的社会背景,概率统计的发展历史本身就是一部很好的教学内容。拉普拉斯说:“认识一位天才的研究方法,对于科学的进步……并不比发现本身更少用处。科学研究的方法经常是极富兴趣的部分。”一部概率统计发展史就是一部生动活泼的创造史,整修概率统计大厦就是一幢充满创造活力的大殿堂。因此,可结合教材,先讲部分相关史料,如历史上著名的概率统计学家泊松、高斯、贝叶斯等对概率论的贡献及其研究方法、概率论的产生背景、某些概念的形成、发展、如蒲丰投针试验问题、凯利的秘书问题、整分问题、玛丽莲问题、拉普拉斯对太阳升起的研究等。这样一方面可以激发学生的兴趣,更重要的是可以吸收数学家在创造过程反映出来的创新意识、思想和方法,为自己以后的创造奠定基础。5.课堂教学中要力求深入浅出,不要追求理论的严谨性本章的教学过程虽只限于概率论与资料统计的最基本概念,但仍牵涉许多学生所不具备的基础知识。限于教学时间以及学生的认识水平,教材不能追求数学上理论的严密性,许多概念只能给出直观的描述。例如,在实际问题中,常量的函数仍是随机变量的问题。一般的,随机变量的函数仍是随机变量,但教材没有对此展开作一般的讨论,而仅考虑教学需要介绍了具有线性关系的随机变量。对于离散随机变量的严格描写要用集合论的语言,教材则用“按一定次序一一列出”这样学生容易理解的语言描述。对于离散型随机变量的期望概念的描写也是用浅显的语言而不用有关级数的理论等,教材把有关的问题限制在随机变量取有限个不同值的情形。对服从二项分布的随机变量的方差公式不作严格推导而直接给出,采用“我们有理由猜想”等表述来处理直接给出的结论,其用意是培养和鼓励学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神。对假设检验概念进行简化处理,使教学要求有所控制,而突出了学习内容的实用性,这是一种较为符合实际的安排。由于统计学是建立在概率的理论基础之上的,而由于我们对概率知识学得很少,不可能对于统计知识介绍得很严格,例如要证明采用简单随机抽样进行抽样时,总体中的每一个体被抽样的概率相等,一个简单的办法是运用有关条件概率的知识来进行说明,但由于条件概率前面未学,为便于接受,教材就采用了用实例进行说明的方法。又如,为估计总体方差,提出了两个估计量,并说明当样本容量较小时用更好一些,使学生了解这两个估计量的意义并会解决简单的有关实际问题就行了,至于其中的道理,难以讲清,教科书就不作深入讨论。6.本章大纲制订的教学要求只是“了解”“会用”、“会求”。但由于教师对这部分教材不够熟悉,处理问题的方法学生也不习惯,运算也较复杂,有些概念学生不易理解,在大纲规定的14课时完成这章教学任务,有一定的困难,建议在制订教学计划中要留有余地。7.教材中的例题与练习题,习题间的跨度较大。学生课后作业会有一定困难,书写格式也不了解。建议在教学前教师认真做一遍,然后根据需要补充一些类似的例题来“铺路”。8.课本上随机变量的分布列是用表格形式给出的。教学中板书或学生作业也可写成nnppppxxxx321321,,,,9.教学中可采用案例的方法,不必从抽象概念出发,以免加深理论难度。现实资料比编造的更可信。引入各类实际问题,使学生能以数学的眼光来观察客观世界,逐渐养成借助数学的思想、观点、方法来思考研究问题,培养学生用数学的意识。10.要求学生学会使用计算器,特别要学生学会用科学计算器处理统计计算的技能训练。11.由于本章内容不易记忆,新名词,新符号多,为了提高教学效果,可以在完成高三教科书的其他各章后,先安排排列组合、二项式定、概率的第一轮复习再进入本章学习,这样可能会节约一些教学时间。12.前三年新课程高考中,考查本章内容仅限于填空题(02年没有考)。由于目前计算器还不能进入考场,也只能到这一步。附:三年中的高考题(1)2000年新课程卷:(理工农医类)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中任意地连续取出2件,其中次品数的概率分布是012p答案:(从左至右)0.9025,0.095,0.0025(文史财经类)从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体,假定其中每个个体被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于。(答案:0.05)(2)2001年新课程卷(理工农医类)一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球。从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是(用数字作答)。(答案:1.2)(文史财经类)一个工厂有若干个车间,今采用分层抽样方法从全厂某天的2048件产品抽取一个容量为128的样本进行质量检查。若一车间这一天生产256件产品,则从该车间抽取的产品件数为。(答案:16)