06-07年上学期同步测控优化训练高三数学数学归纳法(附答案)

高三数学同步检测(五)数学归纳法说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.一个与自然数n有关的命题当n=2时成立,且由n=k时成立可以推得n=k+2时也成立,则()A.该命题对于n＞2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取什么值有关D.以上答案都不对答案B2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n21(n-3)条时,第一步应验证n等于()A.0B.1C.2D.3答案D3.某个命题与正整数n有关,若n=k(k∈N*)时,该命题成立,那么可推得n=k+1时,该命题也成立.现在已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立分析本题借助数学归纳法考查四种命题间的关系,即原命题与其逆否命题等价,逆命题与否命题等价.解∵n=k时命题成立n=k+1时命题成立,其逆否命题是“n=k+1时命题不成立n=k时命题不成立”,∴n=5时命题不成立n=4时命题不成立.答案C4.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则n=k+1时应得到()A.1+2+22+…+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k答案D5.设凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+()A.2πB.πC.2D.3解析因为增加一条边,凸多边形的内角和将增加一个三角形的内角和,所以凸多边形的内角和将增加π.答案B6.对于不等式nn2＜n+1(n∈N*),某同学的证明过程如下:(1)当n=1时,112＜1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即kk2＜k+1,则当n=k+1时,13)1()1(22kkkk＜1)1()2()2()23(22kkkkk,∴当n=k+1时,不等式成立.上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设.答案D7.下列代数式能被9整除(其中k∈N*)的是()A.6+6·7kB.2+7k-1C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)分析本题考查用数学归纳法证明整除性问题.解(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.这就是说,k=n+1时命题也成立.由(1)、(2)可知,命题3(2+7k)对任何k∈N*都成立.答案D8.设f(n)=nnnn１2111,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)等于()A.121nB.221nC.121n+221nD.121n-221n分析用数学归纳法证明有关问题时,分清等式两边的构成情况是解题的关键.显然,当自变量取n时,等式的左边是n项和的形式.解.221121112211212111)1()1(1)1(2)1(11)1(1)()1(nnnnnnnnnnnnnnnnfnf１－＋＋１答案D9.使得多项式81x4+108x3+54x2+12x+1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4分析本题逆用二项式定理的展开式证明整除性问题.解∵81x4+108x3+54x2+12x+1=(3x+1)4,∴该式能被5整除的最小自然数x为3.答案C10.★用数学归纳法证明不等式1+21+41+…+121n＞64127成立,则n取的第一个值应为()A.7B.8C.9D.10分析本题考查用数学归纳法证明不等式.解∵1+21+41+…+121n是首项为1,公比为21的等比数列前n项的和,∴1+21+41+…+121n=1-211211n-21=2-121n.由2-121n＞64127,知121n＜641,n最小取8.答案B第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=aan112(a≠1且n∈N*)”,在验证n=1时,左边计算所得的结果是.解析本题考查数学归纳法的应用.用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况.就本题而言,它的左边是按a的升幂排列的,共有(n+2)项,故当n取第一个值时,共有1+2=3项,它们的和应是1+a+a2.答案1+a+a212.用数学归纳法证明n∈N*时,34n+2+52n+1被14整除的过程中,当n=k+1时,对34(k+1)+2+52(k+1)+1可变形为.分析用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除式整除的形式.解34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+6+52k+3=34k+6+34·52k+1+52k+3-34·52k+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.答案81(34k+2+52k+1)-56·52k+113.★在用数学归纳法证明1+2+22+…+25n-1(n∈N*)是31的倍数的命题时,从k到k+1需要添加的项是.分析分清被除数的构成情况是解决本题的关键.当自变量取n时,被除数是5n项的和,其指数从0依次增加到5n-1.解当n=k+1时,被除数为1+2+22+…+25k-1+25k+25k+1+…+25k+4,从n=k到n=k+1增加的项为25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4.答案25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+414.观察下列式子:1+221＜23,1+221+231＜35,1+221+231+241＜47,…,则可以猜想其结论为.解析解答本类题的关键是分清所给式子的结构特点,确定出不等式右边的项中分子、分母同项数的关系.答案1+221+231+…+21n＜nn12(n≥2)三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分8分)用数学归纳法证明22+42+62+…+(2n)2=32n(n+1)(2n+1).分析用数学归纳法证明代数恒等式的关键是分清等式两边的构成情况,合理运用归纳假设.证明(1)当n=1时,左边=22=4,右边=32×1×2×3=4,∴左边=右边,即n=1时,命题成立.1分(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即22+42+62+…+(2k)2=32k(k+1)(2k+1),2分那么当n=k+1时,22+42+…+(2k)2+(2k+2)2=32k(k+1)(2k+1)+4(k+1)23分=32(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］=32(k+1)(2k2+7k+6)=32(k+1)(k+2)(2k+3)=32(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,6分即n=k+1时,命题成立.7分由(1)、(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.8分16.(本小题满分8分)求证:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a-1整除(n∈N*).分析数学归纳法可以证明与正整数n有关的命题,常见的恒等式、不等式的命题可用数学归纳法证明,其他的如整除、几何方面的命题也可用数学归纳法证明.在证明n=k+1时,“配凑”的技巧掌握很重要,要有目的去“配凑”倍数式子,以及假设n=k时的式子.证明(1)当n=1时,a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除;(2)假设n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,2分则当n=k+1时,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-15分=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1,由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除.∴ak+2+(a+1)2k+1也能被a2+a+1整除,7分即n=k+1时命题也成立.∴对n∈N*原命题成立.8分17.★(本小题满分8分)已知数列411,741,1071,…,)13)(23(1nn,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.分析本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用.在用观察法求数列的通项公式时,要注意观察项与项数的关系.解S1=411=41;S2=41+741=72;S3=72+1071=103;S4=103+13101=134.可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想13nnSn.2分下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=S1=41,右边=13nn=1131=41,猜想成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即411+741+1071+…+)13)(23(1kk=13kk,4分那么,411+741+1071+…+)13)(23(1kk+]1)1(3][2)1(3[1kk.1)1(31)43)(13()1)(13()43)(13(143)43)(13(1132kkkkkkkkkkkkkk6分所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.8分18.(本小题满分10分)用数学归纳法证明1+2n≤1+21+31+…+n21≤21+n(n∈N*).分析本题考查利用数学归纳法证明与正整数有关的不等式.合理运用归纳假设后,向目标靠拢的过程中,可以利用证明不等式的一切方法去证明.证明(1)当n=1时,左式=1+21,右式=21+1,∴23≤1+21≤23,命题成立.2分(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即1+2k≤1+21+31+…+k21≤21+k,4分则当n=k+1时,1+21+31+…+k21+121k+221k+…+kk221＞1+2k+2k·121k=1+21k.6分又1+21+31+…+k21+121k+221k+…+kk221＜21+k+2k·k21=21+(k+1),8分即n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)可知,命题对所有n∈N*都成立.10分19.★(本小题满分10分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:11阶杨辉三角试回答:(其中第(1)~(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)(1)记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为aij,则数列{aij}的通项公式为,n阶杨辉三角中共有个数;(2)第k行各数的和是;(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为()A.奇数B.质数C.非偶数D.合数(6)在第3斜列中,前5个数依次为1、3、6、10、15;第