复数乘除复习

例1计算2000)11(ii。解法1：原式.1)(]22[])1)(1()1([2000200020002iiiii解法2：原式.1)2()2()1()1(1000100020002000iiii小结：一定要熟记ii2)1(2，ii2)1(2，iii11，iii11等。例2复数54)31()22(ii等于（）A．i31B．i31C．i31D．i31分析：)1(222ii可利用ii2)1(2i31与i2321形式非常接近，可考虑，利用的性质去简化计算．解：554454)2321(2)1(2)31()22(iiii62)2321()2321()2(21iii.31)2321)(4(21ii∴应选B．注意：要记住1的立方根，1，i2321，i2321，以及它们的性质，对解答有关问题非常有益．例３求)21)(13)(3()1)(34(2iiiii分析1：可将复数式进行乘、除运算化为最简形式，才取模．解法1：原式54)21)(71(2)21(4)71(2iiiiiiiii20213202920)913(222)20213()2029(22220338201640050025分析2：积或商的模可利用模的性质nzz1nzzz21，2121zzzz（02z）进行运算．解法2：原式iiiiii21331342222222221)1()3(1)3()1(13)4(225544252小结：比较解法1和解法2，可以看到后一种解法好．解此类问题应选用后种解法．例4已知1zz是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹．分析：利用Z为纯虚数0ZZ来解．解法2：∵1zz是纯虚数，∴0)1(1zzzz（且0z，1z）∴011-zzzz，∴0)1()1(zzzzzzz22设yixz（Ryx,）则xyx22（0y）∴y的对应点的轨迹以（21，0）为圆心，21为半径的圆，并去掉点（0，0）和点（1，0）．例５设z为复数，221)1(zzzM，那么（）A．M{纯虚数}B．M{实数}C．{实数}M{复数}D．M{虚数}解：∵221)1(zz，即)1)(1()1(2zzz，∴0))(1(zzz，故1z，或.zz所以z为实数．∴应选B．小结：在复数集中，要证复数z为实数，只须证.zz我们有如下结论．复数z为实数的充要条件是.zz例６若izzzf32)(，iizf36)(，试求).(zf解：∵izzzf32)(，∴iiziziizizizf3223)()(2)(.22izz又知iizf36)(，∴iizz3622设biaz（Rba,），则biaz，∴ibiabia6)()(2即ibia63，由复数相等定义163ba解得.1,2ba∴iz2故iiiiifzf463)2()2(2)2()(小结：下面这些共轭复数运算式，对于解答有关共轭复数问题十分重要，应掌握好．设yixz（Ryx,）的共轭复数为z，则：xzz2；yizz2；zz；22zzz；2121zzzz；2121zzzz；)()(2121zzzz（02z）；nnzz)(（Nn）例７（1）已知1z，Cz2，求证：222122122122zzzzzz（2）已知1z，Cz2，且2121zzzz求证：1z，2z中至少有一个是1．证明：（1）221221zzzz)()()()(21212121zzzzzzzz)()(2221211122212111zzzzzzzzzzzzzzzz2221221122)(2zzzzzz∴222122122122zzzzzz（2）∵2121zzzz，∴2212211zzzz)1)(1())((21212121zzzzzzzz22212121222121111zzzzzzzzzzzzzz即222122211zzzz变形为0)1)(1(2221zz，121z或122z，可得11z，或12z，∴1z，2z中至少有一个是1．小结：掌握好模的性质（1）zz（2）2121zzzz，2121zzzz，nnzz（3）zzz2（4）222121zzzzzz对解题大有裨益．