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第五讲等分面积探究一、平行线等积变换知识导航典题精练例题1如图，李大爷家有一块三角形的菜地，今年，李大爷想在这块菜地上种番茄和土豆，并且保证种植面积相等．现有一根足够长的绳子，请你帮助李大爷用这根绳子把三角形菜地分成面积相等的两部分．1如图①，若要求这根绳子必须经过点，请画出图形并说明理由．图(1)如图②，若要求这根绳子经过上的点，请画出图形并说明理由．图(2)如图③，过点作一条直线平分四边形的面积．图(3)如图④，过点作一条直线平分四边形的面积．图(4)如图，过点作一条直线，使之平分五边形的面积．(5)答案解析(1)(2)见解析(3)见解析(4)见解析(5)过点和中点作一条直线即可．(1)取中点，连接，过点作的平行线交于点，直线即为所求．(2)法一：将四边形转化为以为顶点的三角形，再平分三角形的面积如图，连接，过点作交的延长线于点，连接交于点，则，所以．取的中点，连接，则，即，所以为满足题中的条件．(3)标注三角形三角形及多边形与三角形有关的线段题型：与中线或等分线有关的等积变换法二：将四边形分割成两个三角形，分别平分面积，再化曲为直如图，连接、，取中点，过点作的平行线交于点，平分四边形面积如图，先将四边形转化为以为顶点的三角形，再将点转化为此三角形的顶点.(4)如右上图(5)例题21结论应用：如图，在直线坐标系中，点在第一象限，点，的坐标分别为，，连接，，若，且满足，请你尝试在轴上找一点，使得过的直线平分四边形答案解析标注几何图形初步相交线与平行线平行线题型：等积变换与“平行线”有关的面积，并求出直线的解析式．．连接，过点作过，取中点，点坐标为因此可设直线的解析式为，又由于其过，利用待定数法得，，解得，．∴直线的解析式为：．李大爷家有一块正方形的果园如图所示，由于修建道路，图中的三角形区域将被占用，现决定在右侧补给一块土地，补偿后将调整为四边形，要求补偿后请你在图中通过画图来确定点的位置，并简要叙述画法和理由；若,，求出上图中的值．2答案解析见解析如图，连接，过点作的平行线交的延长线于，连接，则，∴，即：，∴四边形的面积与原来正方形的面积相等且在射线上．如图，由题意知的解析式为.的解析式为，标注几何图形初步几何图形两者交点为，∴，相似或其他方法亦可.例题3问题探究1如图①在直角坐标平面内是边长为的正方形边上一点，请过点作一条直线，使它将正方形面积二等分，求过点这条直线的解析式．(1)如图②在直角坐标平面中有，两点，请过点作一条直线将的面积二等分，求过点这条直线的解析式．(2)问题解决农民张伯伯有一块四边形空地，如图③四边形中，，，，，．张伯伯想过点修条路将四边形面积等分为相等的两部分，这样的路存在不？若存在求出路的长度，若不存在，说明理由．(3)答案解析．(1)．(2)存在，路的长度为．(3)如图，直线即为所求，由题意可知，．设为，则有，解得，∴．(1)如图，在直线上，设为，，解得，∴，经检验点在直线上，连接，作交延长线于点，连接，取中点，连结，即为所求．(2)如图，作于，于．∵，，且，∴，，∴，，，(3)标注三角形三角形及多边形与三角形有关的线段题型：与中线或等分线有关的等积变换∴，∴四边形距，，∴四边形．又∵，∴如图，为所求那条路，∴，∴，∴，∴存在，路的长度为．例题4两条直线将一个图形分成面积相等的三个部分，我们把这两条直线叫做这个图形的“孪生线”.1请在图①、图②中画出三角形和正方形的“孪生线”.图图(1)如图③，菱形中，，，对角线、交于点，在图③中，是否存在过顶点的“孪生线”、，通过计算说明理由.(2)答案解析图如图④，在平面直角坐标系中，，，把沿着边翻折得到，过边上一点是否存在四边形的一组“孪生线”，其中一条恰好是，若存在，求出点的坐标，并直接写出“孪生线”中另一条的解析式，若不存在，请说明理由.备用图）图(3)画图见解析．(1)存在,画图见解析．(2)存在，①,此时解析式为；②，此时解析式为．(3)答案不唯一．(1)存在，如图，当时，、是菱形的孪生线.(2)①,此时解析式为；(3)标注综合类问题新定义题型：新定义综合其它②，此时解析式为．二、等分积周线典题精练例题5我们知道对于任何一个封闭的平面图形，是否存在既平分周长，又平分面积的直线．1请在图的三个图形中，分别做一条直线，使这条直线既平分周长，又平分面积．圆平行四边形等腰三角形图(1)如图，在中，，，，是否存在过上点的直线，使他既平分的面积又平分的周长？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．图(2)答案解析如图，四边形是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中，，，，为了方便驻区单位，准备修一条笔直的道路（路宽不计），使这条路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积，并且要求路的一个出口在边上，你认为这样的路是否存在？若存在，请求出路的另一个出口与点距离；若不存在，请说明理由．图(3)画图见解析．(1)存在，．(2)不存在，理由见解析．(3)根据分析，可得：圆平行四边形等腰三角形图(1)如图，(2)图存在过的点的直线，使它既平分的周长，又平分的面积，∵在中，，，，∴，设，直线既平分的周长，又平分的面积．则，，，∵，∴，∴，解得，∴存在过上的点的直线，使它既平分的周长，又平分的面积，此时．如图，作于点，于点，图不存在这样的路，使这条路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形，的周长，又平分四边形的面积．(3)标注圆圆的相关概念圆的性质∵，，，∴四边形的周长为：；设，则,，则，解得，∴四边形，设，则,，，∵，，∴，∴，∴，解处，，∴四边形，整理，可得：，，∴无解，∴不存在这样的路，使这条路所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积．例题6回答：1问题发现：如图①，点在平行四边形内一点，请过点画一条直线，使其同时平分平行四边形的面积和周长．图(1)问题探究：如图②，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴，轴正半轴上，点坐标为．已知点为矩形外一点，请过点画一条同时平分矩形面积和周长的直线，说明理由并求出直线被矩形截得线段的长度．图(2)问题解决：如图③，在平面直角坐标系中，五边形的边、分别在轴，轴正半轴上，轴，轴，且，，点为五边形内一点．请问：是否存在过点的直线，分别与边和交于点、，且同时平分五边形的面积和周长？若存在，请求出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．图(3)答案解析标注方程与不等式二元一次方程（组）二元一次方程组应用题题型：二元一次方程几何问题画图见解析．(1)．(2)，．(3)(1)∵，，∴设，，解得：，∴，交轴于，交于，∴．(2)存在，直线平分五边形面积，周长，∴在直线上，∴连交、与点、，设，，，∴解得：，∴直线，联立解得：，∴，．(3)