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习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：ydy=2xdx两边积分有：ln|y|=x+c2y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=02xc2原方程的通解为y=cex,x=0y=1时c=12特解为y=e.2x2.ydx+(x+1)dy=0并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。2解：ydx=-(x+1)dy22ydydy=-11+xdx两边积分:-y1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1+xc另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e特解：y=|)1(|ln1+xc3．dxdy=yxxyy321++解：原方程为：dxdy=yy21+31xx+yy21+dy=31xx+dx两边积分：x(1+x)(1+y)=cx2224.(1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为：yy−1dy=-xx1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外x=0,y=0也是原方程的解。5．（y+x）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dxdy=-yxyx+−令xy=u则dxdy=u+xdxdu代入有：-112++uudu=x1dxln(u+1)x=c-2arctgu22即ln(y+x)=c-2arctg222xy.6.xdxdy-y+22yx−=0解：原方程为：dxdy=xy+xx||-2)(1xy−则令xy=udxdy=u+xdxdu211u−du=sgnxx1dxarcsinxy=sgnxln|x|+c7.tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgydy=ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=xccos1=xccos另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8dxdy+yexy32+=0解：原方程为：dxdy=yey2ex32e-3e=c.x32y−9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dxdy=xylnxy令xy=u,则dxdy=u+xdxduu+xdxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+lnxy=cy.10.dxdy=eyx−解：原方程为：dxdy=eexy−e=ceyx11dxdy=(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=u2211u+du=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12.dxdy=2)(1yx+解：令x+y=u,则dxdy=dxdu-1dxdu-1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13.dxdy=1212+−+−yxyx解:原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y2-y)-dx+x=c2xy-y2+y-x-x=c214:dxdy=25−−+−yxyx解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y2+2y)-d(21x+5x)=02y2+4y+x+10x-2xy=c.215:dxdy=(x+1)+(4y+1)+8xy221+解：原方程为：dxdy=（x+4y）+32令x+4y=u则dxdy=41dxdu-4141dxdu-41=u+32dxdu=4u+132u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程yxdxdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+xy)dx=xdy222）yxdxdy=2222x-2yx2y+证明：令xy=u,则xdxdy+y=dxdu则dxdy=x1dxdu-2xu，有：uxdxdu=f(u)+1)1)((1+ufudu=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。1）令xy=u则dxdy=x1dxdu-2xu(1)原方程可化为：dxdy=xy[1+（xy）](2)2将1代入2式有：x1dxdu-2xu=xu(1+u)2u=22+u+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x-x)+y则与x轴，y轴交点分别为：x=x0-'0yyy=y0-x0y’则x=2x0=x-0'0yy所以xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α=4π。解：由题意得：y’=xyy1dy=x1dxln|y|=ln|xc|y=cx.α=4π则y=tgαx所以c=1y=x.19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx则：y=kx+c即为所求。2常微分方程习题2.11.xydxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212=====+==,0)1(.22=++dyxdxy并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xycyxyxcycyxydydxxy++=====++=+=+≠=+−1ln11,11,001ln1,11ln0,11123yxydxdyxy321++=解：原式可化为：xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111=++=++≠++−=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4===−==−+=−++=−=+≠===−++xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lnsgnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,,,6ln)1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx+===+=+−===−•−=−−+−=−=+−===−=+•=+•=•=−−=+===−+=+−=++=++−++=++===+−==−++−+−−两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx+=++==++=+==+=+===+−)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12．2)(1yxdxdy+=解cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx+=+−++=−=++=−==+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU21222'22,31,3131,31;012,0121212.132−+−==−−=+=−==−==+−=−−+−−−=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt+−=+−−+−=−−−−=−−===−−−+−=+−代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15．18)14()1(22+++++=xyyxdxdy原方程的解。，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxyxxyyyxxdxdy+=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216．2252622yxxyxydxdy+−=解：，则原方程化为，，令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy=+−==+−=32322332322232]2)[(32(2)(126326322222+−=+−=xuxuxxuxudxdu，这是齐次方程，令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+−=−===+−=+−=−−+≠−−−==−===−−+−−=+=+−+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则17.yyyxxxyxdxdy−+++=3232332解：原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222−+++=−+++=yxyxdxdyyxyyxxdxdy令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22−+++===uvuvdvduvxuy则方程组，，，）；令，的解为（111101230132+=−=−⎩⎨⎧=−+=++uYvZuvuv则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+zyzydzdyyzyz23321023032）化为，，，，从而方程（令)2.(..........232223322，，，，，所以，，则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt+−=++=++==当当是原方程的解或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022xyxytt−=−=±==−cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022+−=+=−+≠−两边积分的时，，分离变量得另外cxyxyxyxy522222222)2(2+−=+−=−=原方程的解为，包含在其通解中，故，或，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx+==−−=+−+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==−−==+=−+==+===4ln142241)22(1dxduuxy(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,c2两边同时积分得：dxx12udu变量分离得：),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时，方程化为0sxy是原方程的解，当0y或0x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得：ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明：因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx19.已知f(x)∫.≠=xxfxdtxf0)