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专题10-4排列组合与二项式定理第四季1．4名学生参加3个兴趣小组活动，每人参加一个或两个小组，那么3个兴趣小组都恰有2人参加的不同的分组共有_________种.【答案】90【解析】由题意得4名学生中，恰有2名学生参加2个兴趣小组，，其余2名学生参加一个兴趣小组，首先4名学生中抽出参加2个兴趣小组的学生共有种.下面对参加兴趣小组的情况进行讨论：参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组完全相同，共种；2、参加两个兴趣小组的同学参加的兴趣小组有一个相同，共种.故共有种.即答案为90.2．的展开式中项前系数为_________(用数字作答)，项的最大系数是__________【答案】084【解析】通项，当r=5时，，当r=6时，，所以项前系数为0。由二项式定理展开可得：==所以最大项为，即84。所以填0和84。3．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.【答案】21【解析】根据题意，分5种情况讨论：①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有种，则不同的安排方案有种，则不同的安排方法有种．故答案为：29．4．由可组成不同的四位数的个数为__________．【答案】【解析】i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成个不同的四位数；ii)从四组中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成个不同的四位数，所以此时共有个不同的四位数；iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数；综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204.5．用五种不同颜色给三棱台的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂，再涂.第一类：若5种颜色都用上，先涂，方法有种，再涂中的两个点，方法有种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；先涂，方法有种，再涂，方法有2种，故此时方法共有种；综上可得，不同涂色方案共有种，故答案是1920.6．展开式中二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________．【答案】-30.【解析】由展开式中二项式系数和为32，可得，解得，，根据二项式定理可以求得的展开式中，三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10、10、5、1，的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是-1、10、-40、80，所以展开式中项的系数为.7．若其中，则的展开式中的系数为_____．【答案】2808．方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有_____条．【答案】【解析】方程变形得，若表示抛物线，则，分五种情况：（1）当时，或或或.（2）当时，或或或,以上两种情况下有条重复，故共有条.（3）同理当或时，共有条.（4）当时，或或或，共有条，综上，共有，故答案为.学科_网9．设，那么满足的所有有序数组的组数为___________.【答案】【解析】分类讨论：①，则这四个数为或，有组；②，则这四个数为或，有组；③，则这四个数为或或，有组；综上可得，所有有序数组的组数为.10．某校高三年级5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止，1班已经比了4场，2班已经比了3场，3班已经比了2场，4班已经比了1场，则5班已经比了______场.【答案】2【解析】设①②、③、④、⑤分别代表1、2、3、4、5班，①赛了4场，则①是和②、③、④、⑤每人赛了1场；由于④只赛了1场，则一定是找①赛的；②赛了3场，是和①、③、⑤赛的；③赛了2场，是和①、②赛的；所以此时⑤赛了2场，即是和①、②赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：⑤号已经比了2场，即5班已经比了2场，故答案为2.11．在直角坐标系中，有50条不同抛物线和另50条不同抛物线.这100条抛物线把坐标平面最多分成________个部分.【答案】15052[来源:Z。xx。k.Com]【解析】显然，两条形如的抛物线至多有两个交点，两条形如的抛物线至多有两个交点，一条抛物线与一条抛物线至多有四个交点；50条不同抛物线把平面至多分成个部分.类似地，50条不同抛物线把平面至多分成2501个部分.又一条抛物线与50条抛物线至多有200个交点，这200个交点把抛物线分成201段，这201段可将平面多分出201个部分，故50条抛物线与50条抛物线将平面多分出个部分.因此，所求为.12．若的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数，称该子集为“忐忑子集”.则该忐忑子集的个数是________.【答案】175【解析】若某个真子集是忐忑子集，则其补集也是忐忑子集.故只需考虑元素个数小于或等于4的忐忑子集.因此，只有1个元素的忐忑子集共有3个；恰有2个元素的忐忑子集共有个；恰有3个元素的忐忑子集共有个.对于4元子集，由于其中的4个元素被3除的余数必有两个相同，讨论知只有，，，这四种可能的余数组合.从而，4个元素的忐忑子集的个数共有.又全集也是忐忑子集，故忐忑子集的个数为.故答案为：17513．在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1；再染两个偶数2，4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25.按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则红色子列中由1开始数起的第1996个数是_________.【答案】3929【解析】第一次染红一个数1，；[来源:学科网ZXXK]第二次染红2个数2，4，；第三次染红3个数5，7，9，；猜测，第次染红最后一个数为.则第次染红的个数依次为：，，，…，，.最后一个数是.按这个规律前段共染红了个数.解，得.此时前62个片段共个数.第62段最后一个数为，也就是第1953个红数是3844，第1954个红数为3845.而，所以第1996个红数是.[来源:学*科*网]14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有__________________种不同的排列方法.（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.【答案】【解析】假定女孩中有一个是A，对任何一个满足要求的圆排列，令从A打头按顺时针方向走成一个直排，示意图如下：.现在以O代表女孩所站的位置，以×代表男孩所站的位置，则在每个〇后至少有两个×.让每个O“吸收了”它紧后的两个×，画成一个，则每个O，×排列对应成一个×排列：后一种排列的个数显然是从(8+25)-2×8-1=16个位置中选出7位置的组合数，即种.以上表明男、女孩的位置排列共种方法.对每种位置排列，女孩站上去有7！种方法(A固定站首位)，男孩站上去有25！种方法，故总的排列方法数为15．设为（1，2，…，20）的一个排列，且满足.则这样的排列有________个.学_科网【答案】注意到，，且为（1，2，…，20）的一个排列.于是，在中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次..故.从而，，.由分布计数原理，排列的个数为.16．将1～10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和均为素数，并且首尾两项之和也为素数.则填法为______.【答案】1，2，3，8，5，6，7，10，9，4【注】答案不唯一.【解析】考查1-10内所有的数的和可能的结果列表如下，并标记结果为素数的值，如表中第二行第三列的3进行标记说明的结果为素数，则排列的时候可以和相邻，而表中第二行第四列的4进行标记说明的结果为合数，则排列的时候可以和3不可以相邻，据此可得一种结果为：1，2，3，8，5，6，7，10，9，4【注】答案不唯一.17．从正12边形的顶点中取出四个顶点，其两两不相邻的概率为_______.【答案】18．在的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．【答案】1896【解析】均衡染法如图．若第一个的子方格表中四个格分别染A、B、C、D色，则第三列上面两个格只能染A、C色．若第三列第一个格染C色，则第三列第二个格染A色，然后，第三行第二个格只能染B色，第三行第一个格只能染A色，第三行第三个格只能染C色，……依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现．当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有种染法；当每行中两色交错出现时，类似地，有种染法．又重复的情形有种，故不同的染法数为．19．某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10[来源:学.科.网Z.X.X.K]【解析】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有An﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32An﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴An﹣23＝A32An﹣22，解得n＝10，故答案为：10．学+科网20．《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．[来源:Z.xx.k.Com]第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种）故答案为：144．