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13.3.1第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．3.5B．4.2C．5.8D．7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10B．8C．5D．2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A．25B．30C．35D．404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cmB．2cmC．1cmD．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=ABB．BD=ABC．BD=ABD．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A．5mB．8mC．10mD．20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米B．9米C．12米D．15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________米．16．在△ABC中，已知AB=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20、解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD=BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△ABC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．13.3.1第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB的长为。2．在△ABC中，∠A=90°，BD为角平分线，DE⊥BC于E，且E恰为BC中点，则∠ABC等于。3．等腰三角形的底边长为5cm，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm，则腰长为。4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为。5．△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A=，∠B=。6．等腰三角形底角的一个外角为100°，则它的顶角为。7．如图（2），AB∥CD，AC平分∠DAB，若∠D=136°，则∠DCA=。8．如图（3），在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D、C、B、E在一条直线上，且DB=AB，CE=AC，则∠E=，ABCDE图（1）DABC图（2）ABCDE图（3）∠D=，∠DAE=。9．如图（4），已知∠AOB=40°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于A，MB⊥OB于B，则∠MAB的度数为。10．等腰三角形的周长为24cm，其中一边长为7cm，则另外两条边为。二、解答题1．如图（5），△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF，求∠EDF的度数。2．如图（6），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AD=AC，DF⊥AB于D，交BC于F。求证：BD=CF。OABM图（4）ABCDFE图（5）ABDCF图（6）3．如图（7），△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线EF交AB于E，交BC于F。求证：CF=2BF。4．如图（8），△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，H是BE、CF的交点，且HB=HC。求证：AB=AC。参考答案ABCFE图（7）ABCFE图（8）H21212121一、1．82．60°3．8cm4．直角三角形5．50°、65°6．20°或80°7．22°8．25°35°110°9．20°10．7cm、10cm或8.5cm、8.5cm二、1．证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵BD=BECD=CF∴∠1=∠2∠3=∠4∵∠B+∠1+∠2=180°∠C+∠3+∠4=180°∴∠2=（180°—∠B）∠4=（180°—∠C）∵∠2+∠EDF+∠4=180°∴∠EDF=180°—∠2—∠4=180°—（180°—∠B）—（180°—∠C）=∠B+∠C=100°2．证明：连结AF。∵DF⊥ABABCDFE图（5）123421∴∠ADF=90°在Rt△ACF和△ADF中AF=AFAC=AD∴Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）∴CF=DF∵AC=BC∴∠A=∠B∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=90°∴∠B=45°∵∠DFB+∠B+∠BDF=180°∴∠DFB=45°∴∠B=∠DFB∴DF=BD∵CF=DF∴BD=CF3．证明：连结AF∵EF是AB的垂直平分线∴AF=BF∴∠B=∠BAF∴∠A=120°∴∠B=∠BAF=30°∴∠FAC=90°∵AB=AC∴∠C=∠B=30°∴AF=CF，即CF=2AF∵AF=BF∴CF=2BABDCF图（6）ABCFE图（7）4．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠BEC=∠CFB=90°在Rt△BCF和Rt△CBE中BC=BCCF=BE∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）∴∠ABC=∠ACB∴AB=A