平面问题基本理论

第二章平面应力问题和平面应变问题第五章平面问题的基本理论5.1平面应力问题和平面应变问题5.2平面问题的基本方程5.3边界条件5.4圣维南原理及其应用5.5按位移求解平面问题5.6按应力求解平面问题5.7常体力下的简化应力函数第二章平面应力问题和平面应变问题弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1平面应力问题和平面应变问题弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；zyxf,,yxf,退化到平面问题第二章平面应力问题和平面应变问题（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。结构条件：第一类平面问题：平面应力问题（1）等厚度的薄板；受力条件：第二章平面应力问题和平面应变问题坐标系如图选择。第二章平面应力问题和平面应变问题简化为平面应力问题：故只有平面应力存在。δ2z,,0zzxzyσττ,,0,zzxzyσττ由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：（1）两板面上无面力和约束作用，故xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为。yxf,xyyxσσ,,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。yxf,xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题如：弧形闸门闸墩计算简图：深梁计算简图：Fyfyf第二章平面应力问题和平面应变问题因表面无任何面力，0,0xyff,,0.zzxzyσ,,0.zzxzyσAB例题1：试分析AB薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故表面上，有：在近表面很薄一层内：第二章平面应力问题和平面应变问题（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；第二类平面问题：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。第二章平面应力问题和平面应变问题坐标系选择如图：oxzyozxy对称面zy第二章平面应力问题和平面应变问题故任何z面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有;,0u,vw（平面应变问题）只有.,,,0,0,,00xyyxzyzxzyzxzττεw平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：第二章平面应力问题和平面应变问题（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为。,fxyz平面应变所以归纳为平面应变问题：A.应变中只有平面应变分量存在；B.且仅为。,,xyxyεεγ,fxy第二章平面应力问题和平面应变问题例如：平面应变隧道挡土墙oyxyox第二章平面应力问题和平面应变问题且仅为。故只有，本题中：0,,0zzxzy平面应变,fxy,,xyxyεεγoxyz例题2：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。,0.zxzy第二章平面应力问题和平面应变问题§5－2平面问题基本方程0.(a)yxxxσfxy定义一、平衡微分方程0.(b)yxyyσfyx.,,yuxvyvxuxyyx二、几何方程第二章平面应力问题和平面应变问题11(),,11(),,11(),.xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyσσσEGσσσEGσσσEG定义广义胡克定律：三、物理方程第二章平面应力问题和平面应变问题平面应力问题的物理方程：代入，得：在z方向0zyzxzσ11(),(),(a)2(1).xxyyyxxyxyσσσσEEE).(,0yxzzσσEεσ平面应力第二章平面应力问题和平面应变问题代入得,0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，).(,0yxzz第二章平面应力问题和平面应变问题平面应力物理方程→平面应变物理方程：.1,12EE变换关系：.1,)1()21(2EE平面应变物理方程→平面应力物理方程：第二章平面应力问题和平面应变问题位移边界条件－－设在部分边界上给定位移分量和,则有),()(),()(svvsuuss（在上)。（a）usus定义)(su)(sv边界条件－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。位移边界条件§5－3边界条件第二章平面应力问题和平面应变问题⑵若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：sus,0vu,0)(,0)(ssvuus（在上）。（b）⑶它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。⑴它是函数方程，要求在上每一点，位移与对应的约束位移相等。第二章平面应力问题和平面应变问题任一斜面应力与坐标面应力的关系式，应力边界条件－－设在上给定了面力分量,,xyyyyxxxlmσpmlσp).(),(sfsfyxs（c）应力边界条件第二章平面应力问题和平面应变问题将此斜面移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:()(),.(d)()(),xyxsxσyxysylσmfssmσlfs（在上）第二章平面应力问题和平面应变问题⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：⑶式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界s上成立；⑵它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；第二章平面应力问题和平面应变问题⑹所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）也必须满足。⑷式（d）中，－－按应力符号规定，，－－按面力符号规定；yfxf⑸位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示，向的条件；,0yxffxy说明xyyxσσ,,第二章平面应力问题和平面应变问题若x=a为正x面，l=1,m=0,则式(d)成为(),().(e)xaxxaxxyyσff当边界面为坐标面时，坐标面yxbaxfyfxσxfyfxyxσxy第二章平面应力问题和平面应变问题若x=-b为负x面，l=-1,m=0,则式(d)成为(),().(f)xbxxbxxyyσffyxbaxfyfxσxfyfxyxσxy第二章平面应力问题和平面应变问题应力边界条件的两种表达式：两种表达式⑵在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)。⑴在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得式（d）或（e），（f）；第二章平面应力问题和平面应变问题lh/2h/2qyxoyσyxxyyσyxxσ例1列出边界条件：1q第二章平面应力问题和平面应变问题0()0()0.x0x0x,u,v边界()0,()0.xxlxyxlxl,στ边界()()0.yhyxhyy22xhy,σq,τ2l边界1()0,().yhyxhyy22hy,στq2边界第二章平面应力问题和平面应变问题yxoqqqqbbaa例2列出边界条件：xyyσyxxσ第二章平面应力问题和平面应变问题显然，边界条件要求在上，也成抛物线分布。b()0,()0.yyyxybybστ边界：axxσ2()(),()0.xxaxyxaxayσqτb边界：第二章平面应力问题和平面应变问题⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第二章平面应力问题和平面应变问题例3列出的边界条件：ax.0)(,0)(,axxyaxuaxyxoa第二章平面应力问题和平面应变问题弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。§5－4圣维南原理及其应用圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第二章平面应力问题和平面应变问题如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：第二章平面应力问题和平面应变问题圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：4.远处─指“近处”之外。3.近处─指面力变换范围的一，二倍的局部区域；2.静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；第二章平面应力问题和平面应变问题圣维南原理圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第二章平面应力问题和平面应变问题例1比较下列问题的应力解答：hFF/2F/2F/2F/2FF/b3465421321)(σσσσσσσσσσbh654321σσσσσσ4321σσσσb第二章平面应力问题和平面应变问题例2比较下列问题的应力解答：推广00003412σσσσ0σ02σ01σ第二章平面应力问题和平面应变问题圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。应用第二章平面应力问题和平面应变问题圣维南原理在小边界上的应用：lx⑴精确的应力边界条件如图，考虑小边界，第二章平面应力问题和平面应变问题上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。。)(),(),(),(yfyxyfyxσylxxyxlxx(a)在边界上，lx第二章平面应力问题和平面应变问题在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界x=l上，应力的主矢量=面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）.),(yxFF数值相等,方向一致.(b)⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件第二章平面应力问题和平面应变问题右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。第二章平面应力问题和平面应变问题具体列出3个积分的条件：)(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyσFdyyfdyσ第二章平面应力问题和平面应变问题即：应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量，主矩的数值；应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）×（正的矩臂）的方向。第二章平面应力问题和平面应变问题⑴平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将进行变换。以下讨论平面应力问题。1.平面问题的基本方程及边界条件,E平面问题§5－5按位移求解平面问题第二章平面应力问题和平面应变问题⑵平面应力问题0,0.yxxxyxyyσfxyσfyx