第一章习题课电子课件

第一章习题课电子课件2008年4月8日星期二贵州省黔西南民族师范高等专科学校数学系PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn第一章函数与极限习题课PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn一、主要内容（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn函数的定义函数的定义函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接函数之间关系反函数与直接函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数（一）函数PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn1.函数的定义函数的分类2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数5.基本初等函数幂、指、反、对、三6.复合函数7.初等函数8.双曲函数与反双曲函数PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn数列极限函数极限axnn=¥®limAxfx=¥®)(limAxfxx=®)(lim0左右极限左右极限极限存在的充要条件极限存在的充要条件无穷大无穷大¥=)(limxf两者的关系两者的关系无穷小的性质无穷小的性质极限的性质极限的性质求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小0)(lim=xf判定极限存在的准则判定极限存在的准则两个重要极限两个重要极限无穷小的比较无穷小的比较等价无穷小及其性质等价无穷小及其性质唯一性唯一性（二）极限PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn1、极限的定义：定义N-e定义de-定义X-e单侧极限2、无穷小与无穷大无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性质四则运算、复合函数的极限极限存在的条件PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn4、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn6、两个重要极限(1)1sinlim0=®xxx(1)1sinlim0=®xxx;1sinlim=aa某过程(2)exxx=+¥®)11(lim(2)exxx=+¥®)11(limexxx=+®10)1(lim.)1(lim1e=+aa某过程7、无穷小的比较8、等价无穷小的替换性质9、极限的唯一性、局部有界性、保号性PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn（三）连续连续定义0lim0=D®Dyx)()(lim00xfxfxx=®连续定义0lim0=D®Dyx)()(lim00xfxfxx=®连续定义0lim0=D®Dyx)()(lim00xfxfxx=®连续定义0lim0=D®Dyx)()(lim00xfxfxx=®左右连续左右连续连续的充要条件连续的充要条件间断点定义间断点定义振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类在区间[a,b]上连续在区间[a,b]上连续连续函数的运算性质连续函数的运算性质初等函数的连续性初等函数的连续性非初等函数的连续性非初等函数的连续性连续函数的性质连续函数的性质PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn二、典型例题例1).(.1,0,2)1()(xfxxxxxfxf求其中设¹¹=-+解利用函数表示法的无关特性,1xxt-=令,11tx-=即代入原方程得,12)()11(ttftf-=+-,12)11()(xxfxf-=-+即,111uux-=-令,11ux-=即代入上式得PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn,)1(2)1()11(uuuufuf-=-+-,)1(2)1()11(xxxxfxf-=-+-即解联立方程组ïïïîïïïíì-=-+--=-+=-+xxxxfxfxxfxfxxxfxf)1(2)1()11(12)11()(2)1()(.1111)(--++=\xxxxfPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn例2求下列极限①)11()311)(211(lim222nn---¥®Lnnnnn1134322321lim+×-×××××=¥®L原式nnn1lim21+=¥®21=②)1|(|),1()1)(1)(1(lim242++++¥®xxxxxnnLxxxxxnn-+++-=¥®1)1()1)(1)(1(lim22L原式xxnn--=+¥®11lim12x-=11PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn③]21[limaaannnnn+++¥®L121lim2)1(lim-¥®¥®+=+=aannnnnnn原式ïîïíì=¥=202212aaa④1lim21--+++®xnxxxnxL1)1()1()1(lim21--++-+-=®xxxxnxL原式PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn1])2()1()[1(lim121-++-+-+-=-®xxxnxnnxnxL])2()1([lim121-®++-+-+=nxxxnxnnL12)1(+++-+=Lnn2)1(+=nn⑤)0(,2cos2cos2coslim2¹¥®xxxxnnLnnnnxxxxx2sin22sin22cos2cos2coslim2×=¥®原式nnnnxxxxx2sin22sin22cos4cos2coslim211--¥®×=LPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cnnnnxx2sin2sinlim¥®==Lnnnxxxx2sin2limsin¥®=xxsin=例3ccxcxxx，求设4lim=÷øöçèæ-+¥®解一xxxxcxccxcx÷øöçèæ-+=÷øöçèæ-+¥®¥®21limlimïþïýüïîïíì÷øöçèæ-+×úúûùêêëé÷øöçèæ-+=-¥®ccccxxcxccxc2121lim22PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cnce2=4=2ln22=Þc2ln=c得解二xxxxxxcxccxcx÷øöçèæ-÷øöçèæ+=÷øöçèæ-+¥®¥®11limlimccee-=ce2=例4.)sin1tan1(lim310xxxx++®求PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn解解法讨论则设,)(lim,0)(lim¥==xgxf)](1ln[)(lim)()](1lim[xfxgxgexf±=±)]()[(limxfxge±=))(~)](1ln[(xfxf±±Q.)()(limxfxge±=310)]1sin1tan1(1[limxxxx-+++=®原式310]sin1sintan1[limxxxxx+-+=®PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn301sin1sintanlimxxxxx×+-®Q301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx×+-=®xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20+×-×=®×=21.21e=\原式例5证明①1lim=¥®nna②1lim=¥®nnnPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn证①1a先设1na则01Þ-=nnnhah记得由nnha+=1L+-++=+=2!2)1(1)1(nnnnhnnnhhannh（整体和大于部分和）nahnÞ0由夹逼定理知0lim=¥®nnh1lim=Þ¥®nnabaa11=，记若1b则PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cnnnnnba1limlim¥®¥®=1=②1nn首先nnhn+=1记L+-++=+=Þ22!2)1(1)1(nnnnhnnnhhn2!2)1(1nhnn-+³nhn202£Þ由夹逼定理知0lim=¥®nnh1lim=Þ¥®nnn例6求极限÷øöçèæ+++++++++¥®nnnnnnnnn2222211limLPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn[分析]要用夹逼定理，须进行放缩1)()1(22++££++nnnnnnnnD1)1(lim2=++¥®nnnnn但21)(lim2=++¥®nnnnn不能这样用夹逼定理，解注意到分子成等差数列D£+++++++nnnnnn2)()2()1(L1)()2()1(2+++++++£nnnnnLPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn)1(2)13()(2)13(22++££++nnnnnnnD即23)(2)13(lim2=++¥®nnnnn23)1(2)13(lim2=++¥¬nnnn232211lim222=÷øöçèæ+++++++++\¥®nnnnnnnnnL例7)0()(21,011+=+axaxxxnnn有极限证明设证0nx显然axaxxnnn³+=Þ+)(211PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn)(211nnnnxxaxx-=-+0212£-×=nnxxa即xn单调减，有下界故由单调有界原理得存在nnx¥®lim0lim=¥®AAxnn，则设两边取极限得在)(211nnnxaxx+=+)(21AaAA+=（舍去）解得aAaA-==,PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn例8).(,1)(lim,2)(lim,)(023xpxxpxxxpxpxx求且是多项式设==-®¥®解,2)(lim23=-¥®xxxpxQ),(2)(23为待定系数其中可设babaxxxxp+++=\,1)(lim0=®xxpxQ又)0(~2)(23®+++=\xxbaxxxxp.1,0==ab从而得xxxxp++=232)(故PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn例9)0(,,0][lim2=--+++¥®axcbxaxxbaba求若解0][lim2=--+++¥®baxcbxaxxQ0lim2=--++\+¥®xxcbxaxxbaúûùêëé+-++Þ+¥®xxxcbxaxxba2lim0lim2=úûùêëé--++=+¥®xxcxbaxbaPDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cna=Þa[]xcbxaxxab-++=\+¥®2lim[]xacbxaxx-++=+¥®2limxacbxaxcbxx++++=+¥®2limaxcxbaxcbx++++=+¥®2limab2=PDF文件使用pdfFactoryPro试用版本创建www.fineprint.cn例10求下列极限①xxx1)1(lim0-+®axexx1lim)1ln(0-=