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«整式的乘除与因式分解»章末测试题(时间:１２０分钟 总分:１５０分)班级: 姓名: 一、选择题:(本大题１２个小题ꎬ每小题４分ꎬ共４８分)在每个小题的下面ꎬ都给出了代号为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的四个答案ꎬ其中只有一个是正确的ꎬ请将正确答案的代号填在题后的括号中.１.计算(－ｘ３ｙ)２的结果是( Ｄ )Ａ.－ｘ５ｙＢ.ｘ６ｙＣ.－ｘ３ｙ２Ｄ.ｘ６ｙ２２.下列计算正确的是( Ｂ )Ａ.ｘ２＋ｘ２＝ｘ４Ｂ.２ｘ３－ｘ３＝ｘ３Ｃ.ｘ２ｘ３＝ｘ６Ｄ.(ｘ２)３＝ｘ５３.计算(－２)０＋９÷(－３)的结果是( Ｂ )Ａ.－１Ｂ.－２Ｃ.－３Ｄ.－４４.若有等式( )÷２ｘｙ＝ｘ２ｙ－２ｘｙ２＋１ꎬ则括号内应填的多项式为( Ｃ )Ａ.２ｘ３ｙ２－４ｘ２ｙ３Ｂ.１２ｘ－ｙＣ.２ｘ３ｙ２－４ｘ２ｙ３＋２ｘｙＤ.１２ｘ－ｙ＋１５.若ａ、ｂ是正数ꎬａ－ｂ＝１ꎬａｂ＝２ꎬ则ａ＋ｂ＝( Ｂ )Ａ.－３Ｂ.３Ｃ.±３Ｄ.９６.如果长方形的长为(４ａ２－２ａ＋１)ꎬ宽为(２ａ＋１)ꎬ则这个长方形的面积为( Ｄ )Ａ.８ａ３－４ａ２＋２ａ－１Ｂ.８ａ３＋４ａ２－２ａ－１Ｃ.８ａ３－１Ｄ.８ａ３＋１７.若ｘ２＋２ｍｘ＋１６是完全平方式ꎬ则ｍ的值等于( Ｄ )Ａ.２或－２Ｂ.２Ｃ.４Ｄ.４或－４８.已知多项式ｘ２＋ａｘ＋ｂ与ｘ２－２ｘ－３的乘积中不含ｘ３与ｘ２的项ꎬ则ａ、ｂ的值为( Ａ )Ａ.ａ＝２ꎬｂ＝７Ｂ.ａ＝－２ꎬｂ＝－７Ｃ.ａ＝－２ꎬｂ＝７Ｄ.ａ＝２ꎬｂ＝－７９.若ｘ２＋ｍｘ－１５＝(ｘ＋３)(ｘ－ｎ)ꎬ则ｍ的值为( Ｃ )Ａ.－５Ｂ.５Ｃ.－２Ｄ.２１０.若ａ２＋ｂ２＝２ａ－８ｂ－１７ꎬ则(１２ｂ)２ａ＝( Ｃ )Ａ.１４Ｂ.－１４Ｃ.４Ｄ.－４１１.若ｘꎬｙ为正整数ꎬ且２ｘ２ｙ＝２５ꎬ则ｘꎬｙ的值有( Ａ )Ａ.４对Ｂ.３对Ｃ.２对Ｄ.１对１２.现有７张如图１的长为ａꎬ宽为ｂ(ａｂ)的小长方形纸片ꎬ按图２的方式不重叠地放在长方形ＡＢＣＤ内ꎬ未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为Ｓꎬ当ＢＣ的长度变化时ꎬ按照同样的放置方式ꎬＳ始终保持不变ꎬ则ａꎬｂ满足( Ｂ )Ａ.ａ＝ｂＢ.ａ＝３ｂＣ.ａ＝ｂＤ.ａ＝４ｂ二、填空题:(本大题６个小题ꎬ每小题４分ꎬ共２４分)在每小题中ꎬ请将正确答案直接填在题后的横线上.１３.计算:(－３)２０１８(－１３)２０１７＝ －３ .１４.若３ａ＝５ꎬ９ｂ＝１０ꎬ则３２ｂ－ａ的值为 ２ .１５.已知ａ＋ｂ＝４ꎬａ－ｂ＝３ꎬ则ａ２－ｂ２＝ １２ .１６.已知(２ｘ－２１)(３ｘ－７)－(３ｘ－７)(ｘ－１３)可分解因式为(３ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)ꎬ其中ａ、ｂ均为整数ꎬ则ａ＋３ｂ＝ －３１ ꎬａｂ＝ ５６ .１７.将４个数ａ、ｂ、ｃ、ｄ排成２行、２列ꎬ两边各加一条竖直线记成ａ ｂｃ ｄꎬ定义ａ ｂｃ ｄ＝ａｄ－ｂｃꎬ上述记号就叫做２阶行列式.若ｘ＋１ １－ｘ１－ｘ ｘ＋１＝８ꎬ则ｘ＝ ２ .１８.如图ꎬ是用三角形摆成的图案ꎬ摆第一层图需要１个三角形ꎬ摆第二层图需要３个三角形ꎬ摆第三层图需要７个三角形ꎬ摆第四层图需要１３个三角形ꎬ摆第五层图需要２１个三角形ꎬꎬ摆第ｎ层图需要 (ｎ２－ｎ＋１) 个三角形.—３１—三、解答题:(本大题２个小题ꎬ共１６分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.１９.先化简ꎬ再求值:(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＋(４ａｂ３－８ａ２ｂ２)÷４ａｂꎬ其中ａ＝２ꎬｂ＝１.(８分)解:原式＝ａ２－ｂ２＋ｂ２－２ａｂ＝ａ(ａ－２ｂ)ꎬ∵ａ＝２ꎬｂ＝１ꎬ∴原式＝２(２－２×１)＝０２０.解不等式组:ｘ(２ｘ－５)２ｘ２－３ｘ－４①(ｘ＋１)(ｘ＋３)＋８ｘ(ｘ＋５)(ｘ－５)－２②{(８分)解:由①得:２ｘ２－５ｘ２ｘ２－３ｘ－４ꎬ∴ｘ２由②得:ｘ２＋４ｘ＋３＋８ｘｘ２－２７ꎬ∴ｘ－５２∴原不等式组的解集为:－５２ｘ２.四、解答题:(本大题４个小题ꎬ共４０分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.２１.分解因式:(３分/小题ꎬ共１２分)(１)ａ２＋２ａ＋１解:原式＝(ａ＋１)２(２)ｘ２－４(ｘ－１)解:原式＝(ｘ－２)２(３)ａ３－４ａｂ２解:原式＝ａ(ａ＋２ｂ)(ａ－２ｂ)(４)２ｘ４－２解:原式＝２(ｘ２＋１)(ｘ＋１)(ｘ－１)２２.正方形甲的周长比正方形乙的周长多９６ｃｍꎬ它们的面积相差９６０ｃｍ２ꎬ求这两个正方形的边长.(８分)解:设正方形甲的边长为ｘꎬ乙的边长为ｙ(ｘｙ)ꎬ则４ｘ－４ｙ＝９６①ｘ２－ｙ２＝９６０②{ꎬ由①式得ｘ－ｙ＝２４③由②式得ｘ２－ｙ２＝(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)＝９６０ꎬ即２４(ｘ＋ｙ)＝９６０ꎬ∴ｘ＋ｙ＝４０④由③④解得ｘ＝３２ꎬｙ＝８.答:正方形甲的边长为３２ｃｍꎬ正方形乙的边长为８ｃｍ.—４１—２３.阅读下列材料:因为(ｘ－２)(ｘ＋３)＝ｘ２＋ｘ－６ꎬ所以(ｘ２＋ｘ－６)÷(ｘ－２)＝ｘ＋３ꎬ即ꎬｘ２＋ｘ－６能被ｘ－２整除.所以ｘ－２是ｘ２＋ｘ－６的一个因式ꎬ且当ｘ＝２时ꎬｘ２＋ｘ－６＝０.(１)由(ｘ＋２)(ｘ＋３)＝ｘ２＋５ｘ＋６ꎬ得ｘ２＋５ｘ＋６能被 整除ꎬ且当ｘ＝ 时ꎬｘ２＋５ｘ＋６＝０ꎻ(４分)(２)根据以上材料ꎬ已知多项式ｘ２＋ｍｘ－１４能被ｘ＋２整除ꎬ试求ｍ的值.(６分)解:(１)(ｘ＋２)或(ｘ＋３)ꎬ－２或－３.(２)∵(ｘ＋２)(ｘ－７)＝ｘ２－５ｘ－１４ꎬ∴ｘ２－５ｘ－１４能被ｘ＋２整除ꎬ∴ｍ＝－５.２４.先阅读下面的内容ꎬ再解决问题.例题:若ｍ２＋２ｍｎ＋２ｎ２－６ｎ＋９＝０ꎬ求ｍ和ｎ的值.解:∵ｍ２＋２ｍｎ＋２ｎ２－６ｎ＋９＝０∴ｍ２＋２ｍｎ＋ｎ２＋ｎ２－６ｎ＋９＝０∴(ｍ＋ｎ)２＋(ｎ－３)２＝０∴ｍ＋ｎ＝０ꎬｎ－３＝０∴ｍ＝－３ꎬｎ＝３问题:(１)若ｘ２＋２ｙ２－２ｘｙ－４ｙ＋４＝０ꎬ求ｘｙ的值.(６分)(２)已知△ＡＢＣ的三边长ａꎬｂꎬｃ都是正整数ꎬ且满足ａ２＋ｂ２－６ａ－６ｂ＋１８＋∣３－ｃ∣＝０ꎬ请问△ＡＢＣ是怎样形状的三角形?(４分)解:(１)∵ｘ２＋２ｙ２－２ｘｙ－４ｙ＋４＝０ꎬ∴ｘ２＋ｙ２－２ｘｙ＋ｙ２－４ｙ＋４＝０ꎬ∴(ｘ－ｙ)２＋(ｙ－２)２＝０ꎬ∴ｘ＝ｙ＝２ꎬ∴ｘｙ＝２２＝４ꎻ(２)∵ａ２＋ｂ２－６ａ－６ｂ＋１８＋∣３－ｃ∣＝０ꎬ∴ａ２－６ａ＋９＋ｂ２－６ｂ＋９＋∣３－ｃ∣＝０ꎬ∴(ａ－３)２＋(ｂ－３)２＋∣３－ｃ∣＝０∴ａ＝ｂ＝ｃ＝３∴△ＡＢＣ是等边三角形.—５１—五、解答题:(本大题２个小题ꎬ共２２分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.２５.我们知道ꎬ任意一个正整数ｎ都可以进行这样的分解:ｎ＝ｐ×ｑ(ｐꎬｑ是正整数ꎬ且ｐ≤ｑ)ꎬ在ｎ的所有这种分解中ꎬ如果ｐꎬｑ两因数之差的绝对值最小ꎬ我们就称ｐ×ｑ是ｎ的最佳分解.并规定:Ｆ(ｎ)＝ｐｑ.例如:１２可以分解成１×１２ꎬ２×６或３×４ꎬ因为１２－１６－２４－３ꎬ所以３×４是１２的最佳分解ꎬ所以Ｆ(１２)＝３４.(１)如果一个正整数ｍ是另外一个正整数ｎ的平方ꎬ我们称正整数ｍ是完全平方数.求证:对任意一个完全平方数ｍꎬ总有Ｆ(ｍ)＝１ꎻ(３分)(２)如果一个两位正整数ｔꎬｔ＝１０ｘ＋ｙ(１≤ｘ≤ｙ≤９ꎬｘꎬｙ为自然数)ꎬ交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为３６ꎬ那么我们称这个数ｔ为“吉祥数”ꎬ求所有“吉祥数”ꎻ(５分)(３)在(２)所得“吉祥数”中ꎬ求Ｆ(ｔ)的最大值.(２分)解:(１)证明:对任意一个完全平方数ｍꎬ设ｍ＝ｎ２(ｎ为正整数)ꎬ∵∣ｎ－ｎ∣＝０ꎬ∴ｎ×ｎ是ｍ的最佳分解ꎬ∴对任意一个完全平方数ｍꎬ总有Ｆ(ｍ)＝ｎｎ＝１ꎻ(２)设交换ｔ的个位上数与十位上的数得到的新数为ｔ′ꎬ则ｔ′＝１０ｙ＋ｘꎬ∵ｔ是“吉祥数”ꎬ∴ｔ′－ｔ＝(１０ｙ＋ｘ)－(１０ｘ＋ｙ)＝９(ｙ－ｘ)＝３６ꎬ∴ｙ＝ｘ＋４ꎬ∵１≤ｘ≤ｙ≤９ꎬｘꎬｙ为自然数ꎬ∴满足“吉祥数”的有:１５ꎬ２６ꎬ３７ꎬ４８ꎬ５９ꎻ(３)Ｆ(１５)＝３５ꎬＦ(２６)＝２１３ꎬＦ(３７)＝１３７ꎬＦ(４８)＝６８＝３４ꎬＦ(５９)＝１５９ꎬ∵３４３５２１３１３７１５９ꎬ∴所有“吉祥数”中ꎬＦ(ｔ)的最大值为３４.２６.探索:小亮探索平方差公式时设置了如下情境:边长为ｂ的小正方形纸片放置在边长为ａ的大正方形纸片上(如图①)ꎬ你能通过计算未盖住部分的面积得到公式(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２吗?(３分)巩固:如果将小正方形的一边延长(如图②)ꎬ是否也能推导公式?请完成证明.(３分)拓展:面积法除了可以帮助我们记忆公式ꎬ还可以直观地推导或验证公式ꎬ俗称“无字证明”ꎬ例如ꎬ著名的赵爽弦图(如图③ꎬ其中四个直角三角形较大的直角边长都为ａꎬ较小的直角边长都为ｂꎬ斜边长都为ｃ)ꎬ大正方形的面积可以表示为ｃ２ꎬ也可以表示为４×１２ａｂ＋(ａ－ｂ)２ꎬ由此推导出重要的勾股定理:ａ２＋ｂ２＝ｃ２.图④为美国第二十任总统伽菲尔德证明勾股定理时构造的图形ꎬ称为“总统法”ꎬ现请你帮“总统”完成证明.(６分)解:探索:未盖住的面积可看作是两个全等的梯形ꎬ其面积为:２×１２(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)ꎬ也可以看作是大正方形的面积减去小正方形的面积得:ａ２－ｂ２ꎬ∴(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２巩固:未盖住部分的面积为:ａ(ａ－ｂ)＋ｂ(ａ－ｂ)＝(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)ꎬ也可以看作ａ２－ｂ２ꎬ则(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ２－ｂ２ꎻ拓展:因为Ｓ梯形＝１２(ａ＋ｂ)２＝１２(ａ２＋２ａｂ＋ｂ２)ꎬ又因为Ｓ梯形＝１２ａｂ＋１２ｂａ＋１２ｃ２ꎬ∴１２(ａ２＋２ａｂ＋ｂ２)＝１２(２ａｂ＋ｃ２)ꎬ１２ａ２＋ａｂ＋１２ｂ２＝ａｂ＋１２ｃ２ꎬ得ｃ２＝ａ２＋ｂ２.—６１—