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三角形的高、中线和角平分线1．如图，在△ABC中，BD为角平分线，且∠ABC＝60°，则∠ABD的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°2．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝（）A．1B．2C．3D．43．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，则图中相等的角有________，相等的线段有________.5．如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，AD＝4cm，BC＝6cm，AC＝5cm，则BE＝________.6．如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，3），B点坐标为（5，0），则△AOB的面积为________．7．有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮忙设计一个合理的分配方案．8．如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出三条边的中线，然后探究三条中线的位置关系，你发现了什么？9．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：（1）DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC中的任何一个条件交换，所得命题正确吗？若正确，请选择一个证明．参考答案1．C解析因为BD为角平分线，所以ABDCBD，而60ABC，所以1302ABDABC．2．B解析∵BD是△ABC的中线，∴162ABDCBDABCSSS．∵2ECBE，∴2AECABESS，∴143AEEABCSS，∴642ADFBEFADFABFBEFABFABDABESSSSSSSS．3．B解析由12知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE的线段，故①错误，而正确的说法为AD为△ABC的角平分线；BE经过△ABD的边AD的中点G，但BE不是△ABD内的线段，故②错误，而正确的说法为BG为△ABD的边AD上的中线；由于CFAD于点H，所以CH是△ACD的边AD上的高，故③正确；AH平分∠FAC，且H在△AFC的边FC上，因而AH为△AFC的角平分线，又因为AHFC，故AH也为△AFC的高，所以④正确．4．BAECAE，ADBADCBFCF解析∵AE是△ABC的角平分线，∴BAECAE．∵AD是△ABC的高，∴90ADBADC．∵AF是△ABC的中线，∴BFCF．5．24cm5解析由1122BCADAC，得1164522BE，得24cm5BE．6．7.5解析如图，过A点作ADx轴于点D，则D点坐标为（3，0），3AD，所以11537.522ACBSOBAD．7．解：因为人口数分别为3，3，6，且336，所以先找△ABC的边BC上的中线AD，AD将△ABC分成两部分：△ABD和△ADC．若将△ADC分给丙家，则将△ABD分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD的边BD上的中线AE，AE将△ABD分成相等的两部分：△ABE和△AED．可将△ABE分给甲家，△AED分给乙家．如图所示．8．解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半．9．思路建立（1）要说明DO是∠EDF的平分线，则需说明EDAADF，根据角平分线的性质及平行线的性质进行等量代换即可．（2）与（1）的求证过程类似．解：（l）DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴EADFAD．∵DEAB，DFAC，∴EDAFAD，FADEAD．∴EDAADF，∴DO是∠EDF的平分线．（2）①若与AD是∠CAB的平分线交换，正确．理由与（1）中证明过程类似．②若与DEAB交换，正确．理由：∵DFAC，∴FADEAD．∵AD是∠CAB的平分线，∴EADFAD．∴FADFDA．又∵DO是∠EDF的平分线，∴EDAFDA，∴EDAFAD，∴DEAB．③若与DFAC交换，正确，理由与②类似．