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13.4课题学习最短路径问题01基础题知识点1运用“垂线段最短”解决最短路径问题1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是(B)A．PAB．PBC．PCD．PD2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由．解：图略．理由：垂线段最短．知识点2运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题3．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．解：(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略．4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？解：①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略．02中档题5．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．解：如图．作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．03综合题6．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠A′＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠A′＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠A′＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠A′＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠A′＋∠A″)＝2×60°＝120°.