搜索
2014-2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x=﹣2B．x=2C．x=1D．x=﹣12．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（）A．B．C．D．3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3B．y=﹣（x+1）2﹣3C．y=﹣（x﹣1）2+3D．y=﹣（x+1）2+35．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC=，则AD等于（）A．1B．C．2D．37．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（）A．2B．4C．8D．8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA=．11．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为cm．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：cos45°﹣tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．14．在△ABC中，∠A=30，tanB=，BC=．求AB的长．15．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．17．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）求劣弧AC的长．18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．（1）求CD的长；（2）求tanA的值．四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分）19．已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0．20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上．（1）确定m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标；（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？（4）当x取什么值时，y＜0？21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明．22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m．（1）求抛物线的解析式；（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．2014-2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x=﹣2B．x=2C．x=1D．x=﹣1考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．解答：解：y=x2﹣2x+3中，a=1，b=﹣2，c=3，x=﹣=﹣=1．故选C．点评：本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键．2．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（）A．B．C．D．考点：同角三角函数的关系．分析：根据公式cos2A+sin2A=1解答．解答：解：∵cos2A+sin2A=1，cosA=，∴sin2A=1﹣=，∴sinA=．故选B．点评：本题考查公式cos2A+sin2A=1的利用．3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．解答：解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选B．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3B．y=﹣（x+1）2﹣3C．y=﹣（x﹣1）2+3D．y=﹣（x+1）2+3考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：利用二次函数平移的性质．解答：解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．点评：本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③考点：命题与定理．分析：判断命题是否为假命题，就要判断由题设能否推出结论，能推出，则该命题为真命题；不能推出，则该命题为假命题．解答：解：①由于圆沿着每条直径所在直线对折后能够完全重合，所以圆是轴对称图形；由于圆绕着圆心旋转180°后能与本身重合，所以圆是中心对称图形；所以此命题为真命题，故本选项正确；②垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，是真命题，故本选项正确；③相等的圆心角所对的弧相等，说法不确切，应为“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，故本选项错误；故选A．点评：考查了命题与定理，不仅要熟悉命题的概念，还要熟悉圆的定义及相关知识，难度不大．6．如图：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BD=1，AC=，则AD等于（）A．1B．C．2D．3考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，证得△ABC∽△ADC，得到比例式，求得CD，根据勾股定理即可得到结论．解答：解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△ADC，∴，∴AC2=BC•CD，即（2）2=（1+CD）•CD，解得：CD=4（负值舍去），∴AD===2．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．7．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（）A．2B．4C．8D．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OC，根据PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．解答：解：连接OC，∵PA=2，PB=8，∴AB=10，∴CO=5，OP=5﹣2=3，在Rt△POC中：CP==4，∵直径AB垂直于弦CD，∴CD=2CP=8，故选：C．点评：此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．解答：解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．点评：应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是﹣1．考点：二次函数的最值．分析：根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．解答：解：由题意得，=3，整理得，a2﹣3a﹣4=0，解得a1=4，a2=﹣1，∵二次函数有最大值，∴a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA=．考点：锐角三角函数的定义．分析：首先求得c的长度，然后由余弦函数的定义求解即可．解答：解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：c===．cosA==．故答案为：．点评：本题主要考查的是勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题的关键．11．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为3cm．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据垂径定理及勾股定理即可求出．解答：解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直平分直径的弦CD已知AB=10cm，CD=8cm则OD=5cm，MD=4cm由勾股定理得OM=3cm．点评：此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用．12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）②④．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．解答：解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；（⊙）抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，即b＜0；（△）抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；（□）①由（□）知：c＜0，故①错误；②由图知：当x=1时，y＜0；即a+b+c＜0，故