搜索
期末复习(二)勾股定理各个击破命题点1勾股定理的证明【例1】(1)以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形(如图2)，请你利用图2，验证勾股定理；(2)利用图2中的直角梯形，证明a＋bc2.[图1图2【思路点拨】(1)利用梯形面积的两种算法列出等式证明；(2)利用直角梯形中斜腰大于直角腰证明．【方法归纳】勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的方式表示同一个图形的面积．1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．(1)画出拼成图形的示意图；(2)证明勾股定理．命题点2勾股定理及其逆定理【例2】如图，每个小正方形的边长为1.(1)求四边形ABCD的周长；(2)求证：∠BCD＝90°.【思路点拨】(1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△BCD的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．【方法归纳】正方形格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于90°的一种思路．本题的第(2)问还可以通过两个三角形全等来证明．2．如图，已知：在正方形ABCD中，点E是BC中点，点F在AB上，且AF∶FB＝3∶1.(1)请你判断EF与DE的位置关系，与同学交流，并说明理由；(2)若此正方形的面积为16，求DF的长．命题点3勾股定理在实际问题中的应用【例3】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？【思路点拨】运用“两点之间线段最短”先确定出P点在A1B1上的位置，再利用勾股定理求出AP＋BP的长．【方法归纳】解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的P点的位置，会构造Rt△AB′E求之，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．[3．某工厂的大门如图所示，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AB为直径的半圆，已知AD＝2.3m，AB＝2m，现有一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，问：这辆车能否通过厂门？请说明理由．命题点4图形的折叠与勾股定理【例4】如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴上，顶点O与原点O重合，连接AC，将矩形纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是____________．【思路点拨】求点D的横坐标即先要求点D到y轴的距离，然后根据点D在第二象限，确定点D的横坐标．【方法归纳】解决有关折叠的问题时，通常利用勾股定理这个等量关系建立方程．4．(安徽中考)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为()A.53B.52C．4D．5整合集训一、选择题(每小题3分，共30分)1．在Rt△ABC中，已知两直角边长分别为1和3，则斜边的长为()A．1B．2.4C．22D.102．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2cm，3cm，4cm；②3cm，4cm，5cm；③9cm，40cm，41cm.分别以每组铁丝围成三角形，能构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③3．下列各命题的逆命题成立的是()A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等4．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是()5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对6．在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是()A．1∶2∶3B．2∶3∶4C．1∶4∶9D．1∶3∶27．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为()A.3B．23C．33D．438．设a，b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是()A．1.5B．2C．2.5D．39．如图是一张探宝图，根据图中的尺寸，起点A与起点B的距离是()A.113B．8C．9D．1010．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝()A．4B．5C．23D.833二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果三角形的三边分别为2，6，2，那么这个三角形的最大角的度数为____________．12．(无锡中考)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于____________．13．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系c2－a2－b2＋||a－b＝0，则△ABC的形状为____________．14．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△CDF，△DAE和△BCG是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于____________．15．(滨州中考)如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为____________．16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为______cm.三、解答题(共52分)17．(8分)如图，已知某山的高度AC为800米，在山上A处与山下B处各建一个索道口，且BC＝1500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18．(10分)在△ABC中，a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否是直角三角形．19．(10分)一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示．图1图2(1)你认为这个零件符合要求吗？为什么？(2)求这个零件的面积．20．(12分)如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？21．(12分)在△ABC中，AB＝25，AC＝4，BC＝2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．参考答案【例1】(1)∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC.又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°.∴∠AED＝90°.∵S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2.整理得a2＋b2＝c2.(2)证明：∵BC＝a＋b，AD＝2c，BCAD，∴a＋b2c.a＋bc2.【例2】(1)根据勾股定理可知AB＝32，BC＝34，CD＝34，AD＝52，∴四边形ABCD的周长为82＋234.[(2)证明：连接BD，∵BC＝34，CD＝34，DB＝68，∴BC2＋CD2＝BD2.∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°.【例3】过B作B点关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到A，B距离之和最短的点．过A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6.由勾股定理，得AB′＝AE2＋EB′2＝82＋62＝10.即AP＋BP＝AB′＝10.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10km.【例4】－35题组训练1．(1)图略．(2)证明：用大正方形的面积证明．c2＝(b－a)2＋4×12ab＝b2＋a2.2．(1)EF与DE垂直，即EF⊥DE.连接DF，设正方形边长为a，则AD＝DC＝a，AF＝34a，BF＝14a，BE＝EC＝12a.在Rt△DAF中，DF2＝AD2＋AF2＝2516a2.在Rt△CDE中，DE2＝CD2＋CE2＝54a2.在Rt△EFB中，EF2＝FB2＋BE2＝516a2.∵DE2＋EF2＝54a2＋516a2＝2516a2＝DF2，∴△DFE为直角三角形．∴EF⊥DE.(2)连接DF.∵正方形的面积为16，∴a2＝16.∵DF2＝2516a2＝2516×16＝25，∴DF＝5.3．能通过，理由如下：如图，设AB的中点为O，显然，车的宽度小于门的宽度，设OF＝1.6÷2＝0.8(m)，过点F作FG⊥AB，G为半圆上的点，因为OG＝AB2＝1m，OF＝0.8m，所以FG2＝OG2－OF2＝12－0.82＝0.36.所以FG＝0.6m，所以G点离地面的高度为0.6＋2.3＝2.9(m)2.5m，故车能通过．4．C整合集训1．D2.D3.C4.D5.A6.D7.D8.D9.D10.D11.90°12.813.等腰直角三角形14.1015.(10，3)16.10132617．根据已知，可得∠ACB＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝8002＋15002＝1700(米).1700÷50＝34(分钟)．答：大约34分钟后，欢欢才能达到山顶．18．∵m，n是正整数，且m＞n，∴c＞b，c＞a.∴a2＋b2＝(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4.又∵c2＝(m2＋n2)2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．19．(1)这个零件符合要求．∵AB2＋AD2＝32＋42＝25，BD2＝52＝25，∴AB2＋AD2＝BD2.∴∠A＝90°.又∵BD2＋BC2＝52＋122＝169，DC2＝132＝169，∴BD2＋BC2＝DC2.∴∠DBC＝90°.(2)由(1)知∠A＝90°，∠DBC＝90°，∴这个零件的面积为12×3×4＋12×5×12＝36.20．分两种情况：(1)如图1，当∠B＝90°时，设BC＝xcm，则AC＝(70－x)cm.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(70－x)2＝502＋x2，解得x＝1207，则AC＝70－x＝3707.即该点将绳子分成长度分别为1207cm和3707cm的两段．(2)如图2，当∠C＝90°时，根据勾3股4弦5可知这两段绳子的长度分别为30cm和40cm.21．∵AC＝4，BC＝2，AB＝25，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ACB为直角三角形，即∠ACB＝90°.分三种情况：(1)如图1，过点D作DE⊥CB，垂足为点E.易证△ACB≌△BED.易求CD＝210；(2)如图2，过点D作DE⊥CA，垂足为点E.易证△ACB≌△DEA.易求CD＝213；(3)如图3，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F.易证△AFD≌△DEB，易求CD＝32.