2017人教版九年级下《第28章锐角三角函数》专项训练含答案

第28章锐角三角函数专项训练专训1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，(第1题)则tanB的值是()A.45B.35C.34D.432．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝34，求sinC的值．(第2题)3．如图，直线y＝12x＋32与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点B的坐标；(2)求sin∠BAO的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A为锐角，且sinA＝32，则cosA＝()A．1B.32C.22D.125．若α为锐角，且cosα＝1213，则sin(90°－α)＝()A.513B.1213C.512D.1256．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝45，则tanB的值为()A.43B.34C.35D.458．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sinB的值．(第9题)专训2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1．同角三角函数关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.2．互余两角的三角函数关系：sinα＝cos(90°－α)，cosα＝sin(90°－α)，tanα·tan(90°－α)＝1.同角间的三角函数的应用1．已知sinAcosA＝4，求sinA－3cosA4sinA＋cosA的值．2．若α为锐角，sinα－cosα＝22，求sinα＋cosα的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是()A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝14．计算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sinα·cosα＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα.6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求1－2sinαcosα的值．专训3用三角函数解与圆有关问题名师点金：用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．一、选择题1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝()A.13B.34C.45D.23(第1题)(第2题)2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为()A．1B.203C．3D.1633．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝45.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝10，则OA的长为()A．3或5B．5C．4或5D．44．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：(第4题)①OA⊥BC；②BC＝63cm；③sin∠AOB＝32；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是()A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第5题)(第6题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A，B重合)，则cosC的值为________．(第7题)(第8题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝________.三、解答题9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tanB＝12，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.(1)求证：AB为⊙C的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第9题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证：AT是⊙O的切线；(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．(第10题)11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；(2)若tan∠CAB＝12，AB＝3，求BD的长．(第11题)12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．(第12题)13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝35.求证：CB是⊙O的切线．(第13题)答案专训11．C2．解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝BDAD.∵tan∠BAD＝34，AD＝12，∴34＝BD12，∴BD＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴在Rt△ADC中，AC＝AD2＋CD2＝122＋52＝13，∴sinC＝ADAC＝1213.3．解：(1)解方程组y＝12x＋32，y＝2x，得x＝1，y＝2，∴点B的坐标为(1，2)．(第3题)(2)如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由12x＋32＝0，解得x＝－3，则A(－3，0)，∴OA＝3，∴AB＝AC2＋BC2＝25，∴sin∠BAC＝BCAB＝225＝55，即sin∠BAO＝55.4．D5.B6.30°7.B8．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，则bc＝45，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.∴sinA＋sinB＝3k5k＋4k5k＝75.9．解：∵CD是斜边AB的中线，∴CD＝AD＝BD.∴∠DCB＝∠B.∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.在Rt△ACH中，AH＝2CH，∴AC＝5CH.∴sinB＝sin∠CAH＝CH5CH＝55.专训21．分析：本题可利用sinAcosA求解，在原式的分子、分母上同时除以cosA，把原式化为关于sinAcosA的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由sinAcosA＝4，得到sinA与cosA之间的数量关系，代入式子中求值．解：(方法1)原式＝（sinA－3cosA）÷cosA（4sinA＋cosA）÷cosA＝sinAcosA－34sinAcosA＋1.∵sinAcosA＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117.(方法2)∵sinAcosA＝4，∴sinA＝4cosA.∴原式＝4cosA－3cosA4×4cosA＋cosA＝cosA17cosA＝117.2．分析：要求sinα＋cosα的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sinα－cosα＝22，∴(sinα－cosα)2＝12，即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝12.∴1－2sinαcosα＝12，即2sinαcosα＝12.∴(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋12＝32.又∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝62.3．C点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin(45°－α)＝cos(45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1.4．解：tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°＝(tan1°·tan89°)·(tan2°·tan88°)·…·(tan44°·tan46°)·tan45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tanα·tanβ＝1.5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα·cosα＝1225，∴(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×1225＝4925.∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝75.又∵sinα·cosα＝1225，∴以sinα，cosα为根的一元二次方程为x2－75x＋1225＝0.点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝06．解：∵sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，∴由求根公式，得sinα＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54.∴sinα＝12或sinα＝3(不符合题意，舍去)．∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－122＝34.又∵cosα＞0，∴cosα＝32.∴1－2sinαcosα＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝（sinα－cosα）2＝|sinα－cosα|＝12－32＝3－12.专训3一、1.D2．D点拨：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cosB＝BCAB＝35，∴AB＝203.∴AC＝AB2－BC2＝163.3．A4.B二、5.346.127.458.12三、(第9题)9．(1)证明：如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB＝ACBC＝12，∴BC＝2AC＝25.∴AB＝AC2＋BC2＝（5）2＋（25）2＝5，∴CF＝AC·BCAB＝5×255＝2.∴AB为⊙C的切线．(2)解：S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝12AC·BC－nπr2360＝12×5×25－90π×22360＝5－π.10．(1)证明：∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．(2)解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝ATAO＝CDOD＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝5x＝OA.∵AD＝AO－OD＝(5－1)x，∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝ADCD＝（5－1）x2x＝5－12.(第10题)(第11题)11．(1)证明：连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE.(2)解：设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝12，∴ED＝12AD＝12(3＋x)．由(1)知，DC＝12(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋12（3＋x）2＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1.12．解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：连接AE，如图，∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∴△A