八年级上《12.3第2课时角的平分线的判定》同步练习含答案

第2课时角的平分线的判定基础题知识点1角平分线的判定1．已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知：如图所示，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.3．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.知识点2角平分线的性质与判定的综合运用4．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定5．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．知识点3角平分线的性质与判定的实际应用6．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．7．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．21世纪教育网版权所有中档题8．如图所示，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是（）21教育网A．在∠DBC的平分线上B．在∠BCE的平分线上C．在∠BAC的平分线上D．在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上9．如图所示，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于O点，OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G，则OF________OG.(填“＞”“＜”或“＝”)21cnjy.com10．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．21·cn·jy·com11．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．12．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.13．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，(1)在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这三条线段相等吗？为什么？(2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．2·1·c·n·j·y参考答案1．D2.证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE和△CDF中，∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴AD平分∠BAC.3.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，∠BOD＝∠COE，OD＝OE，∠ODB＝∠OEC，∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.(2)在△BOD和△COE中，∠ODB＝∠OEC，∠BOD＝∠COE，OB＝OC，∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.4.B5.证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．6.图略．提示：作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置．7.在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点O就是小亭的中心位置，图略．8.D9.＝10.411.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中，BE＝CF，DB＝DC，∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE＝DF.∴AD平分∠ABC.12.证明：过点D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.∵S△DCE＝12CE·DG，S△DBF＝12BF·DH，S△DCE＝S△DBF，∴12CE·DG＝12BF·DH.又∵CE＝BF，∴DG＝DH.∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.13.移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵∠B＝∠C，∴△DEB≌△DFC(AAS)．∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.14．(1)PF＝PH＝PG，理由如下：∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，∴PF＝PH.∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，∴PG＝PH.∴PF＝PH＝PG.(2)PE＝PD.理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠CAB＝30°.∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC＝45°.过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，则∠PFE＝∠PGD＝90°.∵∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋15°＝75°，∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋45°＝75°，∴∠PEF＝∠PDG.∵PF⊥AC，PG⊥BC，∴∠PFE＝∠PGD＝90°.由(1)得PF＝PG，∴△PFE≌△PGD.∴PE＝PD.