八年级上小专题(5)构造全等三角形的方法技巧同步练习含答案

小专题(五)构造全等三角形的方法技巧(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)方法1利用补形构造全等三角形1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE＝12AD.方法2利用“截长补短法”构造全等三角形2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)21教育网3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．21cnjy.com4．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．21·cn·jy·com(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．2·1·c·n·j·y方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形6．已知△ABC中，AB＝4cm，BC＝6cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围．7．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝12AC.8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.小专题(五)构造全等三角形的方法技巧1．延长AC、BE交于点F，∵∠ACB＝90°，BE⊥AE，∴∠CAD＋∠CDA＝90°，∠EDB＋∠EBD＝90°.∵∠CDA＝∠EDB，∴∠CAD＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF.在△ADC和△BFC中，∠CAD＝∠CBF，AC＝BC，∠ACD＝∠BCF，∴△ADC≌△BFC.∴AD＝BF.在△AEF和△AEB中，∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∠AEF＝∠AEB，∴△AEF≌△AEB.∴BE＝EF，即BE＝12BF.∴BE＝12AD.2.AB＝AC＋CD.理由如下：方法1：在AB上截取AE＝AC，连接DE.易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C.∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.∴BE＝DE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.方法2：延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.∵CF＝CD，∴∠CDF＝∠F.∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB＝2∠F.又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠F.又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△ABD≌△AFD(AAS)．∴AB＝AF.∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.3.证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠FBO.∴△EBO≌△FBO.∴∠EOB＝∠FOB.∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB＝∠DOC＝60°.∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.4.AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE.∵DE＝CE，∴EC＝EF.∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．∴BF＝BC.同理可证：AF＝AD.∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.5.(1)EF＝BE＋DF(2)EF＝BE＋DF仍然成立．证明：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，BE＝DG，∠B＝∠ADG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△AGF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.6.延长BD至E，使DE＝BD.连接CE.∵BD是AC边上的中线，∴AD＝CD.∵∠BDA＝∠EDC，∴△BDA≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.在△CBE中，BC－CEBEBC＋CE，∴2cm2BD10cm.∴1cmBD5cm.21世纪教育网版权所有7.证明：延长AE至F，使EF＝AE，连接DF.∵AE是△ABD的中线，∴BE＝DE.∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE≌△FDE.∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF＝∠ADC.∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.∴DF＝CD.∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF＝2AE，即AE＝12AC.8.延长AM至N，使MN＝AM，连接BN，∵点M为BC的中点，∴BM＝CM.又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA.又AM＝MN，∴DE＝2AM.