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2015-2016学年重庆市江津区三校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．方程x2=1的解是（）A．x=1B．x1=﹣1，x2=1C．x1=0，x2=1D．x=﹣13．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y=mx2+1（m≠0）B．y=ax2+bx+cC．y=（x﹣2）2﹣x2D．y=3x﹣14．抛物线y=（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=3C．直线x=﹣1D．直线x=﹣35．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°6．下列所给的方程中，没有实数根的是（）A．x2+x=0B．5x2﹣4x﹣1=0C．3x2﹣4x+1=0D．4x2﹣5x+2=07．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=5112B．x（x﹣1）=5112C．x（x+1）=5112×2D．x（x﹣1）=5112×29．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．10．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A．6B．5C．3D．211．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=2．下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．5a+c＞0C．4a﹣b=0D．9a+3b+c＜012．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④四边形AOBO′的面积为6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②③④C．①②③⑤D．①②③④⑤二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x﹣m2+1=0的一个根为0，则m的值．14．抛物线y=﹣x2+（b+1）x﹣3的顶点在y轴上，则b的值为．15．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个实数根，则k的取值范围是．16．如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上，OA在y轴上，且OC=2，OA=4，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形ODEF，则E的坐标为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是．18．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．三、解答题（本大题2个小题，共14分）19．如图，方格纸中的每个小方格都是正方形，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系（1）以原点O为对称中心，画出与△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．（2）将原来的△ABC绕着点B顺时针旋转90°得到△A2B2C2，试在图上画出△A2B2C2的图形．20．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．四、解答题（本大题4个小题，共10分）21．解方程：（1）（x﹣2）2=2﹣x（2）（3x﹣2）2=（4﹣x）2．22．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），其中a是方程x2+x﹣3=0的解．23．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．24．操作：如图①，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角：（1）角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（2）若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点，连接MN．在图②中画出图形，再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系．五、解答题（本大题2个小题，共24分）25．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2﹣3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2﹣3x﹣2可知，a1=1，b1=﹣3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）直接写出函数y=x2﹣3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣3与y=x2﹣3nx+n互为“旋转函数”，求的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数”．26．已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年重庆市江津区三校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列交通标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．方程x2=1的解是（）A．x=1B．x1=﹣1，x2=1C．x1=0，x2=1D．x=﹣1【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】直接利用开平方法解方程得出即可．【解答】解：x2=1解得：x1=1，x2=﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．3．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y=mx2+1（m≠0）B．y=ax2+bx+cC．y=（x﹣2）2﹣x2D．y=3x﹣1【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a是不等于零的常数）是二次函数，可得答案．【解答】解：A、是二次函数，故A正确；B、当a=0时，函数是一次函数，故B错误；C、化简，得y=﹣2x+4是一次函数，故C错误；D、y=3x﹣1是一次函数，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，注意二次函数的二次项的系数不能等于零．4．抛物线y=（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．直线x=1B．直线x=3C．直线x=﹣1D．直线x=﹣3【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的顶点式可得到抛物线的顶点坐标，从而可得到抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），∴抛物线的对称轴是x=﹣1．故选C．【点评】本题考查的是抛物线的顶点坐标、对称轴，属于基本题，应熟练掌握．5．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150°B．120°C．90°D．60°【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．【解答】解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．故选A．【点评】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．6．下列所给的方程中，没有实数根的是（）A．x2+x=0B．5x2﹣4x﹣1=0C．3x2﹣4x+1=0D．4x2﹣5x+2=0【考点】根的判别式．【分析】分别计算出判别式△=b2﹣4ac的值，然后根据△的意义分别判断即可．【解答】解：A、△=12﹣4×1×0=1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；B、△=（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）=36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；C、△=（﹣4）2﹣4×3×1=4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；D、△=（﹣5）2﹣4×4×2=﹣7＜0，所以方程没有实数根．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．7．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．8．九年级（1）班的全体同学，在新年来临之际，在贺卡上写上自己的心愿和祝福赠送给其他同学各一张，全班共互赠了5112张，设全班有x名同学，那么根据题意列出的方程是（）A．x（x+1）=5112B．x（x﹣1）=5112C．x（x+1）=5112×2D．x（x﹣1）=5112×2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设全班有x名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相互赠送了5112张可列出方程．【解答】解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出贺卡（x﹣1）张；又∵是互送贺卡，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=5112．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就像总线段条数，人数类似线段端点数．9．在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】解：A、由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=kx+k图