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2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根D．方程的根的情况与c有关4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于度．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1y2．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）14．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．15．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？16．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，求图中阴影部分面积．17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．四、（本大题共4小题，每小题8分，共32分）18．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若CD=6，求GF的长．19．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？20．如图△ABC是⊙O内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C与A、B不重合）设∠OAB=α，∠C=β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．21．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．（1）求M点的坐标．（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．五、（本题10分）22．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转．当点D恰好落在AB边上时．①线段DE与AC的位置关系是．（不需证明）②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是，证明你的结论；（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．六、（本题12分）23．如图，点A、点E的坐标分别为（0，3）与（1，2），以点A为顶点的抛物线记为C1：y1=﹣x2+n；以E为顶点的抛物线记为C2：y2=ax2+bx+c，且抛物线C2与y轴交于点P（0，）．（1）分别求出抛物线C1和C2的解析式，并判断抛物线C1会经过点E吗？（2）若抛物线C1和C2中的y都随x的增大而减小，请直接写出此时x的取值范围；（3）在（2）的x的取值范围内，设新的函数y3=y1﹣y2，求出函数y3与x的函数关系式；问当x为何值时，函数y3有最大值，求出这个最大值．2016-2017学年江西省赣州市赣县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】利用轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可．【解答】解：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是，故选B2．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．故选：B．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0中c＜0，该方程的根的情况是（）A．方程没有实数根B．总有两个不相等的实数根C．有两相等实数根D．方程的根的情况与c有关【考点】根的判别式．【分析】先求出△，判断△的正负，即可得出选项．【解答】解：x2﹣3x+c=0，△=（﹣3）2﹣4×1×c=9﹣4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选B．4．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB=25°，则∠OCD的度数是（）A．45°B．60°C．65°D．70°【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理求出∠DOB，根据等腰三角形性质求出∠OCD=∠ODC，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：连接OD，∵∠DAB=20°，∴∠BOD=2∠DAB=40°，∴∠COD=90°﹣40°=50°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC==65°，故选C．5．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆，如图线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆，△ABC的最小覆盖圆是其外接圆，那么长为8cm、宽为6cm的矩形的最小覆盖圆半径是（）A．10cmB．8cmC．6cmD．5cm【考点】三角形的外接圆与外心；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质和圆周角定理得到BD是矩形的最小覆盖圆的直径，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴BD是矩形的最小覆盖圆的直径，∵AB=6，AD=8，∴BD==10，∴矩形的最小覆盖圆半径是5cm，故选：D．6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（3，2）C．（3，3）D．（4，3）【考点】二次函数的性质．【分析】已知抛物线的对称轴为x=2，知道A的坐标为（0，3），由函数的对称性知B点坐标．【解答】解：由题意可知抛物线的y=x2+bx+c的对称轴为x=2，∵点A的坐标为（0，3），且AB与x轴平行，可知A、B两点为对称点，∴B点坐标为（4，3）故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．一元二次方程4（x﹣1）2﹣9=0的解是．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】先把方程变形得到（x﹣1）2=，然后两边开方得到x﹣1=±，再解两个一次方程即可．【解答】解：∵（x﹣1）2=，∴x﹣1=±，∴x1=﹣，x2=．故答案为x1=﹣，x2=．8．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于35度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的意义，找到旋转角∠BOD；再根据角相互间的和差关系即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∴∠BOD=80°，∵∠AOB=45°，则∠AOD=80°﹣45°=35°．故填35．9．如图，⊙O的直径CD⊥弦EF，垂足为点G，∠EOD=58°，则∠DCF=29°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】先根据垂径定理得出=，可得出∠DCF=∠EOD，进而可得出结论．【解答】解：∵⊙O的直径CD⊥弦EF，∴=，∴∠DCF=∠EOD=×58°=29°．故答案为：29°．10．在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1＞y2．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：由y=x2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．11．如图，△ABC的顶点都在⊙O上，已知直径AD=6，∠ABC=∠DAC，则AC的长为．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】连接CD，则△ACD是等腰直角三角形，据此即可求得AC的长．【解答】解：连接CD，则∠D=∠ABC，∵∠ABC=∠DAC，∴∠D=∠DAC，∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°，∴△ACD是等腰直角三角形．∴AC=AB=6×=3．故答案是：3．12．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为9或10．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】讨论：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0可求出对应的n的值；当a=b时，根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10．【解答】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0，解得n=9；当a=b时，△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10，所以n的值为9或10．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．按要求做题：（1）解方程：3x2+x=3x+1（2）计算：﹣22+8÷（﹣2）3﹣2×（）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；有理数的混合运算．【分析】（1）先变形为x（3x+1）﹣（3x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；（2）先进行乘方运算，再计算括号内的减法运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算．