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辽宁省鞍山市台安县2014届九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列计算正确的是（）A．2+=2B．=C．=﹣3D．2×=62．（3分）若，则a的取值范围是（）A．a≤B．a≥C．a＞D．a为任意实数3．（3分）用配方法解方程，则x2﹣2x﹣1=0变形为（）A．（x﹣1）2=2B．（x﹣1）2=1C．D．（x+1）2=24．（3分）（2010•莆田）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A．x（x﹣1）=10B．=10C．x（x+1）=10D．=105．（3分）在英文字母V、W、X、Y、Z中，是中心对称图形的字母有：（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（3分）（2010•杭州）如图，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°7．（3分）（2012•湘潭）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°8．（3分）（2012•黔东南州）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．75°二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2012•衡阳）计算﹣×=_________．10．（3分）（2011•南京）计算（+1）（2﹣）=_________．11．（3分）方程（3x﹣4）2﹣（3x﹣4）=0的解是_________．12．（3分）（2012•荆州模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m=_________．13．（3分）（2011•南京）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=_________．14．（3分）若点P（x+1，y﹣1）关于原点的对称的点Q的坐标为（3，﹣2），则x+y=_________．15．（3分）如图，已知∠ACB的度数为100°，则圆心角∠AOB等于_________．16．（3分）（2012•遵义）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_________．三、解答下列各题（每小题8分，共16分）17．（8分）（﹣）﹣（+）18．（8分）先化简；•÷，然后再选取你喜欢而又合适的x、y的值，代入化简后的式子进行计算．四、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并写出点A2，B2的坐标．20．（10分）如图点A，B，C在半径为2cm的⊙O上，若BC=2cm，求∠A的度数．五、解答题（每题10分，共20分）21．（10分）已知关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0．（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．（2）设x1，x2是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．22．（10分）（2012•莱芜）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图2）．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．六、解答题（每小题10分，共20分）23．（10分）有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．24．（10分）（2010•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．七、解答题（12分）25．（12分）（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？八、解答题（14分）26．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线，如图①，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE；如图②，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α≤90°），连接AF、DE．（1）在旋转过程中，当∠ACE=150°时，求旋转角α的度数；（2）请探究在旋转过程中，四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．B2．A3．A4．B5．B6．C7．D8．A二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）（2012•衡阳）计算﹣×=．10．（3分）（2011•南京）计算（+1）（2﹣）=．11．（3分）方程（3x﹣4）2﹣（3x﹣4）=0的解是x1=，x2=．12．（3分）（2012•荆州模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m=﹣1．13．（3分）（2011•南京）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=90°．14．（3分）若点P（x+1，y﹣1）关于原点的对称的点Q的坐标为（3，﹣2），则x+y=﹣1．15．（3分）如图，已知∠ACB的度数为100°，则圆心角∠AOB等于160°．16．（3分）（2012•遵义）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．三、解答下列各题（每小题8分，共16分）17．（8分）（﹣）﹣（+）解：原式=4﹣﹣﹣=．18．（8分）先化简；•÷，然后再选取你喜欢而又合适的x、y的值，代入化简后的式子进行计算．解：原式==，当x=2，y=3时，原式==3．四、解答题（每小题10分，共20分）19．（10分）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标（4，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C，并写出点A2，B2的坐标．解：（1）△A1B1C1如图所示，A1（﹣4，4），B1（﹣1，1），C1（﹣3，1）；（2）△A2B2C如图所示，A2（0，2），B2（3，﹣1）．20．（10分）如图点A，B，C在半径为2cm的⊙O上，若BC=2cm，求∠A的度数．解：作直径BD，连接CD，如图，则BD=4cm，∵BD是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，在Rt△BCD中，CD===2cm，∴∠CBD=30°，∴∠D=60°，∴∠A=60°．五、解答题（每题10分，共20分）21．（10分）已知关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0．（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围．（2）设x1，x2是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立，若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．解：（1）根据题意得a﹣6≠0且△=4a2﹣4（a﹣6）•a≥0，解得a≥0且a≠6；（2）存在．根据题意得x1+x2=﹣，x1x2=，∵﹣x1+x1x2=4+x2，即x1x2=4+x1+x2，∴=4﹣，解得a=24，∵a≥0且a≠6，∴a=24时，使﹣x1+x1x2=4+x2成立．22．（10分）（2012•莱芜）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图2）．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．解：（1）DB′=EC′．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD=AE=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，∴∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，∴AB′=AC′，在△B′AD和△C′AE中，∵，∴△B′AD≌△C′AE（SAS），∴DB′=EC′；（2）∵DB′∥AE，∴∠B′DA=∠DAE=90°，在Rt△B′DA中，∵AD=AB=AB′，∴∠AB′D=30°，∴∠B′AD=90°﹣30°=60°，即旋转角α的度数为60°．六、解答题（每小题10分，共20分）23．（10分）有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5米时需要采取紧急措施，当水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．解：不需要采取紧急措施理由如下：设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18∴R2=302+（R﹣18）2=900+R2﹣36R+324解得R=34（m）连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中ME=16∴342=162+（34﹣x）2=162+342﹣68x+x2=342x2﹣68x+256=0解得x1=4，x2=64（不合题意，舍去）∴DE=4∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施．24．（10分）（2010•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）七、解答题（12分）25．（12分）（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：第二周每个旅游纪念品的销售价格为x由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200﹣（200+50x）]=1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，整理得：x2﹣2x+1