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辽宁省营口市2013-2014学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入下面的表格内，每小题3分共24分）1．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣22．（3分）如图，下面的空心圆柱的主视图和俯视图正确的是（）3．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点5．如图，AB∥CD，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对6．反比例函数y的图象经过点（﹣8，10），则该反比例函数图象在（）A．第一、三象限B．第二、四象限C．第二、三象限D．第一、二象限7．自连续正整数10～99中选出一个数，其中每个数被选出的机会相等．求选出的数，其十位数字与个位数字的和为9的概率为（）A．B．C．D．8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共24分）9．方程x（x+3）=0的解是_________．10．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为_________．11．在一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计a大约有_________个．12．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是_________．13．等腰△ABC中，BC=8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m=0的根，则m的值等于_________．14．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为_________．15．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动．给出以下四个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF是等边三角形；④当点E，F分别为边BC，DC的中点时，△AEF的面积最大．上述结论中正确的序号有_________．（把你认为正确的序号都填上）16．（3分）观察下列数据：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个数据是_________．三、（每小题8分，共8分）17．（8分）（1）计算：（2）解一元二次方程：（5x﹣1）（x+1）=2x+3．四、（每小题9分，共18分）18．（9分）有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n的对应值，请画出树状图并写出（m，n）的所有取值；（2）求关于x的一元二次方程有实数根的概率．19．（9分）（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？五、（共18分）20．（8分）（2013•遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）21．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．六、（每小题8分，共16分）22．（8分）如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x＞0）于点N，作PM⊥AN交双曲线（x＞0）于点M，连接AM．已知PN=4．（1）求k的值．（2）求△APM的周长．23．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=12，BC=32，E是BC的中点，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以，每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q随之停止运动，当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形？七、（本题12分）24．（12分）（2012•常州）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图），设CP=x，DE=y．（1）写出y与x之间的关系式（）；（2）若点E与点A重合，则x的值为（）；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．2013-2014学年辽宁省营口市九年级（上）期末数学试卷参考答案三、（每小题8分，共8分）17．解：（1）原式===1；（2）方程整理得：5x2+4x﹣1=2x+3，即5x2+2x﹣4=0，这里a=5，b=2，c=﹣4，∵△=4+80=84，∴x==．四、（每小题9分，共18分）18．解：（1）画树状图得：则（m，n）的所有取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；（2）∵关于x的一元二次方程有实数根，∴△=m2﹣2n≥0，∴关于x的一元二次方程有实数根的有：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为：=．19．（1）解：设每千克核桃应降价x元．…1分根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．…4分化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．…6分答：每千克核桃应降价4元或6元．…7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为：60﹣6=54（元），．…9分答：该店应按原售价的九折出售．…10分五、（共18分）20．解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC=45°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=30°，在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=20×=10（海里），在Rt△BCD中，BC===20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．21．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．六、（每小题8分，共16分）22．解：（1）∵点P的坐标为，可得AP=2，．又∵PN=4，∴可得AN=6，∴点N的坐标为．把代入中，得k=9．（2）∵k=9，∴双曲线方程为．当x=2时，．∴．又∵PM⊥AN，∴AM==∴C△APM=5+．23．解：由题意得，AP=2t，CQ=4t，∴PD=AD﹣AP=12﹣2t，∵E是BC的中点，∴CE=BC=×32=16，∵AD∥BC，点P在AD上，点Q在BC上，∴PD∥QE，①点Q在线段CE上时，EQ=16﹣4t，∴12﹣2t=16﹣4t，解得t=2，②点Q在线段BE上时，EQ=4t﹣16，∴12﹣2t=4t﹣16，解得t=，∴点P停止运动时，t==6，∴0≤t≤6，∴当运动时间为2秒或秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．七、（本题12分）24．解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，∴∠DPE+∠CPM=90°，又矩形ABCD，∴∠D=90°，∴∠DPE+∠DEP=90°，∴∠CPM=∠DEP，又∠C=∠D=90°，∴△CPM∽△DEP，∴=，又CP=x，DE=y，AB=DC=4，∴DP=4﹣x，又M为BC中点，BC=2，∴CM=1，∴=，则y=﹣x2+4x；（2）当E与A重合时，DE=AD=2，∵△CPM∽△DEP，∴=，又CP=x，DE=2，CM=1，DP=4﹣x，∴=，即x2﹣4x+2=0，解得：x=2+或x=2﹣，则x的值为2+或2﹣；（3）存在，过P作PH⊥AB于点H，∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，∴PD′=PD=4﹣x，ED′=ED=y=﹣x2+4x，EA=AD﹣ED=x2﹣4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4﹣x，根据勾股定理得：D′H==，∵∠ED′A=180°﹣90°﹣∠PD′H=90°﹣∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，∴△ED′A∽△D′PH，∴=，即==x=，整理得：2x2﹣4x+1=0，解得：x=，当x=时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上．故答案为：（1）y=﹣x2+4x；（2）2+或2﹣