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2015-2016学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（）A．B．C．D．2．将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（）A．三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形3．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）4．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC=BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（）A．①④⇒⑥B．②④⇒⑥C．①②⇒⑥D．①③⇒⑤5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2B．y=（x﹣2）2+6C．y=x2+6D．y=x26．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，﹣2b）B．（﹣a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）7．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A．1B．2C．3D．48．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．方程x（x+2）=0的根是．10．一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有．11．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD=2BD，S△ABC=36，则四边形BCED的面积为．12．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm2，设丝绸花边的宽度xcm，根据题意，可列方程为．13．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4，则FD的长为．14．如图，两个反比例函数y=和y=﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为．三、解答题（共1小题，满分4分）15．如图，下列是一个机器零件毛坯和它的主视图，请画出这个机器零件的左视图与俯视图．四、解答题（共9小题，满分74分）16．（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0（2）若关于x的方程2x2﹣5x+c=0没有实数根，求c的取值范围．17．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏．同时转动两个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方是否公平？请说明理由．18．我市某花卉生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的温室栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，温室内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中DA段所满足的表达式为y=5x+13，BC段是反比例函数图象的一部分，点E是BC段上一点．请根据图中信息解答下列问题：（1）写出反比例函数的关系式；（2）恒温系统在这天保持温室内温度18℃的时间有多少小时？19．小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．（计算结果精确到1m）（参考数据：sin15°=，cos15°=，tan15°=）20．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？21．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，DE∥AB，AE∥BC，连接AD，EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD=CD，判断四边形ADCE的形状，并说明理由．22．某旅行社组团去外地考察学习，10人起组团．每人单价1200元．该旅行社对超过10人的团给予优惠，即考察团每增加一人，每人的单价就降低20元．由于条件限制，考察团人数不能超过30人，设考察团人数为x（人）．（1）求每人单价y（元），与考察团人数x（人）之间的函数表达式；（2）当考察团人数为多少人时，该旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？23．数学问题：在1～51这51个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于51，有多少中不同取法？数学模型：为找到解决上面问题的方法，先建立简单的数学模型进行研究：（1）在1～5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有多少种不同取法？解决问题过程如下：123451（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）第1行有1种取法（1，5）第2行有2种取法（2，4），（2，5）第3行有3种取法（3，3），（3，4），（3，5）第4行有4种取法（4，2），（4，3），（4，4），（4，5）第5行有5种取法（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5）共有1+2+3+4+5种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（3，3），（4，4），（5，5），要从总数中减去这3中取法，并且（4，2）与（2，4），（4，3）与（3，4），（5，1）与（1，5），（5，2）与（2，5），…（5，4）与（4，5）是同一种取法，因此共有=6种不同的取法．（2）在1～6这6个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于6，有多少种不同的取法？解决问题过程如下：1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）第1行有1种取法（1，6）第2行有2种取法（2，5），（2，6）第3行有3种取法（3，4），（3，5），（3，6）第4行有4种取法（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）第5行有5种取法（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）第6行有6种取法（6，1），（6，2），（6，3），6，4），（6，5），（6，6）共有1+2+3+4+5+6种取法，因为每次取两个不同的数，所以在这些取法中不包括（4，4），（5，5），（6，6），要从总数中减去这3中取法，并且（4，3）与（3，4），（5，2）与（2，5），（5，3）与（3，5），（5，4）与（4，5），（6，1）与（1，6），（6，2）与（2，6）…（6，5）与（5，6）是同一种取法，因此共有=9种不同的取法．归纳探究：仿照上述研究问题的思路和解决过程，回答下列提出的问题：（1）在1～7这7个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于7，共有种不同取法．（只填结果）（2）在1～8这8个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于8，共有种不同取法．（只填结果）（3）在1～n（n为奇数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法．（只填最简算式）（4）在1～n（n为偶数）这n个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于n，共有种不同取法．（只填最简算式）类比应用：类比上述研究方法或应用其结论，解决下列提出的问题：（5）各边长都是整数，最大边长为51的三角形有多少个？（直接列出算术，并计算结果）24．如图，在矩形OAHC中，OC=4，OA=6，B为CH中点，连接AB．动点M从点O出发沿OA边向点A运动；动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM，CN，MN，设运动时间为t（秒）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在MN的垂直平分线上？（2）求△CMN的面积S与t之间的函数表达式；（3）当t为何值时，△CMN的面积S有最小值？（4）是否存在某一时刻t，使得△CMN为直角三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年山东省青岛市市南区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：sinA==．故选C．2．将一个矩形纸片（厚度不计）置于太阳光下，改变纸片的摆放位置和方向，则其留在地面上的影子的形状一定不是（）A．三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【考点】平行投影．【分析】根据平行投影下平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得到正确的选项．【解答】解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．则正方形的木板在太阳光下的影子得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段，不可能为三角形．故选：A．3．抛物线y=x2﹣2x+1的顶点坐标是（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）【考点】二次函数的性质．【分析】将原抛物线方程y=x2﹣2x+1转化为顶点式方程，然后根据顶点式方程找顶点坐标．【解答】解：由原方程，得y=（x﹣1）2，∴该抛物线的顶点坐标是：（1，0）．故选A．4．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC=BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是（）A．①④⇒⑥B．②④⇒⑥C．①②⇒⑥D．①③⇒⑤【考点】正方形的判定；菱形的判定．【分析】由对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A、对角线相等的矩形不能得到正方形，故错误；B、对角线垂直的菱形是正方形，正确；C、对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故错误；D、对角线相等且平分的四边形是矩形，但不但能得到菱形，故错误．故选B．5．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2B．y=（x﹣2）2+6C．y=x2+6D．y=x2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x﹣1+1）2+3，即y=x2+3；再向下平移3个单位为：y=x