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第1页（共23页）《第13章轴对称》一、选择题1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（）A．B．C．D．2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．正方形D．长方形4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．12cmB．17cmC．19cmD．17cm或19cm5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（）A．α不大于45°B．0°＜α＜90°C．α不大于90°D．45°＜α＜90°246．如图，已知等边△ABC，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为（）wA．0.5B．1C．2D．不确定t7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）hA．105°B．120°C．135°D．150°Y8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）6A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定O9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）5第2页（共23页）A．1个B．2个C．3个D．4个I10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：a①△ABC≌△A′B′C′；h②∠BAC′=∠B′AC；P③l垂直平分CC′；6④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，y正确的有（）6A．4个B．3个C．2个D．1个8二、填空题．Z11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=．k12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为．413．等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是．014．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=cm．A15．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=．f16．如图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=度．A第3页（共23页）三、解答题=17．要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）．修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由．=18．如图AB=AD，AD∥BC，求证：BD平分∠ABC．（写出每步证明的重要依据）19．如图，已知D、E两点在线段BC上，AB=AC，AD=AE．证明：BD=CE．20．在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，请说明DB=DE的理由．21．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数．第4页（共23页）22．如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于点F，交AB于点E．求证：BF=FC．23．如图、已知∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于D，PE⊥OA于E．如果OD=4cm，求PE的长．24．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC上的点，BD=CE，求∠AFE的度数．1228357725．已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点在一直线上．请你说明DA﹣DB=DC．第5页（共23页）26．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形．第6页（共23页）12283577《第13章轴对称》参考答案与试题解析一、选择题1．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称．【解答】解：A、是平移变换，不符合题意；B、是轴对称变换，符合题意；C、是平移变换，不符合题意；D、是中心对称变换，不符合题意．故选B．【点评】考查了图形的三种变换：平移、轴对称、旋转．2．下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：①线段AB、CD互相垂直平分，则线段AB所在的直线是线段CD的对称轴，线段CD所在的直线是线段AB的对称轴，故错误；②如平行四边形的一组对边符合两条线段相等，但不关于任何一条直线对称，错误；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，错误．第7页（共23页）错误的个数是3个，故选D．【点评】掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．并且注意对称轴一定是直线．3．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．正方形D．长方形【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解，确定各个图形有几条对称轴．【解答】解：A、等腰直角三角形有一条对称轴；B、等边三角形有三条；C、正方形有四条；D、长方形有两条对称轴．故选A．【点评】掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．4．一个等腰三角形的一边长是7cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．12cmB．17cmC．19cmD．17cm或19cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分别从腰长是7cm，底边长为5cm，与腰长是5cm，底边长为7cm，去分析求解即可求得答案．【解答】解：若腰长是7cm，底边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是：7+7+5=19（cm）；若腰长是5cm，底边长为7cm，则这个等腰三角形的周长是：7+5+5=17（cm）；综上所述，这个等腰三角形的周长是17cm或19cm．故选D．12283577【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．5．如果等腰三角形的一个底角为α，那么（）第8页（共23页）A．α不大于45°B．0°＜α＜90°C．α不大于90°D．45°＜α＜90°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理进行分析即可．【解答】解：等腰三角形的底角相等，一个底角是α，则另一底角也一定是α，根据三角形的内角和定理得三个内角的和是180°，因而两底角的和2α一定满足：0＜2α＜180°，则0°＜α＜90°．故选B．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质的运用．6．如图，已知等边△ABC，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为（）A．0.5B．1C．2D．不确定【考点】等边三角形的性质；特殊角的三角函数值．【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的高相等，进而可得出结论．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB．∴OE+OF=h．故选B．【点评】熟练掌握等边三角形的性质．7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A．105°B．120°C．135°D．150°第9页（共23页）【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】根据等边三角形三线合一的性质，高线即是角平分线，再利用三角形的内角和定理知钝角的度数是120°．【解答】解：∵等边△ABC的两条高线相交于O∴∠OAB=∠OBA=30°∴∠AOB=180°﹣∠OAB﹣∠OBA=120°故选B【点评】此题主要考查了等边三角形三线合一的性质，比较简单．8．等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分情况进行分析，从而得到答案．【解答】解：当底角是50°时，则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣50°=40°；当顶角是50°时，则它的底角就是（180°﹣50°）=65°则它一腰上的高与底边的夹角是90°﹣65°=25°；故选C．【点评】此题主要考查了学生的三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°9．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，﹣2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．第10页（共23页）【分析】如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．【解答】解：分二种情况进行讨论：当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．∴符合条件的点一共4个．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．10．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】轴对称的性质．【分析】根据关于某直线成轴对称的两个图形能够完全重合对各小题分析判断即可得解．【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；②∠BAC=∠B′AC′，∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′，第11页（共23页）即∠BAC′=∠B′AC，正确；③l垂直平分CC′，正确；④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误．综上所述，结论正确的是①②③共3个．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．二、填空题．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=2．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC=AB=2．故答案为：2．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．12．已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，其它两边的长为5，5．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】由于长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．【解答】解：当腰为3时，另一腰也为3，则底为13﹣2×3=7，∵3+3=6＜7，∴这样的三边不能构成三角形．当底为3时，腰为（13﹣3）÷2=5，∴以3，5，5为边能构成三角形．故答案为：5，5．第12页（共23页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．