搜索
《第16章二次根式》一、精心选一选，慧眼识金！1．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．若，则（）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤33．若有意义，则m能取的最小整数值是（）A．m=0B．m=1C．m=2D．m=34．若x＜0，则的结果是（）A．0B．﹣2C．0或﹣2D．25．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．如果，那么（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数7．小明的作业本上有以下四题：①②③；④．做错的题是（）A．①B．②C．③D．④8．化简的结果是（）A．B．C．D．9．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）A．B．C．a=1D．a=﹣110．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9B．10C．D．二、耐心填一填，一锤定音！11．若有意义，则x的取值范围是．12．比较大小：．（填“＞”、“=”、“＜”）．13．=，=．14．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=．15．当x=时，二次根式取最小值，其最小值为．16．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．三、用心做一做，马到成功！17．求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）．18．化简：（1）（2）（3）（4）．19．计算：（1）（2）（3）（4）6﹣2．20．先化简，再求值：•（x+2），其中x=．21．观察下列等式：①；②；③；…回答下列问题：（1）利用你的观察到的规律，化简：；（2）计算：．《第16章二次根式》参考答案与试题解析一、精心选一选，慧眼识金！1．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】应用题．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．【解答】解：A、当x=0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；B、当x=﹣1时，无意义；故本选项错误；C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x=±1时，x2﹣2=﹣1＜0，无意义；故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．2．若，则（）A．b＞3B．b＜3C．b≥3D．b≤3【考点】二次根式的性质与化简．【分析】等式左边为非负数，说明右边3﹣b≥0，由此可得b的取值范围．【解答】解：∵，∴3﹣b≥0，解得b≤3．故选D．【点评】本题考查了二次根式的性质：≥0（a≥0），=a（a≥0）．3．若有意义，则m能取的最小整数值是（）A．m=0B．m=1C．m=2D．m=3【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即可求解．【解答】解：由有意义，则满足3m﹣1≥0，解得m≥，即m≥时，二次根式有意义．则m能取的最小整数值是m=1．故选B．【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．若x＜0，则的结果是（）A．0B．﹣2C．0或﹣2D．2【考点】二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的意义化简．【解答】解：若x＜0，则=﹣x，∴===2，故选D．【点评】本题考查了根据二次根式的意义化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a，当a≤0时，=﹣a．5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．6．如果，那么（）A．x≥0B．x≥6C．0≤x≤6D．x为一切实数【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的性质=×（a≥0，b≥0）得出x≥0且x﹣6≥0，求出组成的不等式组的解集即可．【解答】解：∵，∴x≥0且x﹣6≥0，∴x≥6，故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，注意：要使=×成立，必须a≥0，b≥0．7．小明的作业本上有以下四题：①②③；④．做错的题是（）A．①B．②C．③D．④【考点】算术平方根．【分析】①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．【解答】解：①和②是正确的；在③中，由式子可判断a＞0，从而③正确；在④中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，故错误．故选D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次公式的性质：=|a|．同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．8．化简的结果是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】先把根号里面的式子进行通分，再进行化简即可得出答案．【解答】解：==．故选：A．【点评】此题主要考查二次根式的性质及其化简，比较简单．9．最简二次根式的被开方数相同，则a的值为（）A．B．C．a=1D．a=﹣1【考点】最简二次根式．【分析】最简二次根式是被开方数中不含开得尽方的因数或因式，被开方数相同，令被开方数相等，列方程求a．【解答】解：∵最简二次根式的被开方数相同，∴1+a=4﹣2a，解得a=1，故选C．【点评】本题主要考查最简二次根式的知识点，关键是理解概念，比较简单．10．如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9B．10C．D．【考点】平面展开﹣最短路径问题．【专题】数形结合．【分析】将长方体展开，得到两种不同的方案，利用勾股定理分别求出AB的长，最短者即为所求．【解答】解：如图（1），AB==；如图（2），AB===10．故选B．【点评】此题考查了立体图形的侧面展开图，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．二、耐心填一填，一锤定音！11．若有意义，则x的取值范围是x≥．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：要是有意义，则2x﹣1≥0，解得x≥．故答案为：x≥．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．12．比较大小：＜．（填“＞”、“=”、“＜”）．【考点】实数大小比较．【分析】本题需先把进行整理，再与进行比较，即可得出结果．【解答】解：∵=∴∴故答案为：＜．【点评】本题主要考查了实数大小关系，在解题时要化成同一形式是解题的关键．13．=，=18．【考点】二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可．【解答】解：•==4y；•===18．【点评】本题考查的是二次根式的乘法法则，注意运算结果化为最简二次根式．14．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=11．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵，a、b为两个连续的整数，∴＜＜，∴a=5，b=6，∴a+b=11．故答案为：11．【点评】此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关键．15．当x=﹣1时，二次根式取最小值，其最小值为0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件，得x+1≥0，则x≥﹣1，从而可以确定其最小值．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，得x+1≥0，则x≥﹣1．所以当x=﹣1时，该二次根式有最小值，即为0．故答案为：﹣1，0．【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，能够根据其取值范围确定代数式的最小值．16．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【考点】二次根式的应用；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．三、用心做一做，马到成功！17．求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）（2）（3）（4）．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得不等式3x﹣4≥0，再解不等式即可；（2）根据二次根式有意义的条件可得不等式﹣8a≥0，再解不等式即可；（3）根据二次根式有意义的条件可得不等式m2+4≥0，再解不等式即可；（4）根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得﹣x≤0，且x≠0，解不等式即可．【解答】解：（1）由题意得：3x﹣4≥0，解得：x≥；（2）由题意得：﹣8a≥0，解得：a≤；（3）∵m2+4≥0，∴m的取值范围是全体实数；（4）由题意得：﹣x≤0，且x≠0，解得x＜0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．18．化简：（1）（2）（3）（4）．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（2）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（3）直接利用二次根式的性质化简求出即可；（4）直接利用二次根式的性质化简求出即可．【解答】解：（1）=×=12×13=156；（2）=﹣×5=﹣；（3）=﹣×=﹣4；（4）=3|m|．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．19．计算：（1）（2）（3）（4）6﹣2．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）利用二次根式的性质计算；（2）利用二次根式的乘法法则计算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式=4×=6；（2）原式=﹣3×（﹣）×=×=1；（3）原式=4+3﹣2+4=7+2；（4）原式=6﹣﹣=6﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．20．先化简，再求值：•（x+2），其中x=．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】先把分式因式分解，约分化简为最简形式，再把数代入求值．【解答】解：原式=•（x+2）=；（6分）x=时，．（8分）【点评】此题是分式与整式的乘法运算，分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x+2看成一个整体．21．观察下列等式：①；②；③；…回答下列问题：（1）利用你的观察到的规律，化简：；（2）计算：．【考点】分母有理化．【专题】规律型．【分析】（1）根据已知的3个等式发现规律：=﹣，把n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【解答】解：（1）=﹣；（2）计算：+++…+=﹣1+﹣+2﹣+…+﹣=﹣1=9．【点评】此题的关键是分母有理化，得出规律：=﹣是解题的关键．