第七章电子自旋角动量

155第七章电子自旋角动量实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。在Dirac的相对论性电子方程中，这个内禀角动量很自然地体现在该方程的旋量结构上。由于dingeroSchr&&方程是昀低阶非相对论近似的结果，因此dingeroSchr&&方程自然也就忽略了它们。换句话说，在电子运动能量为非相对论性的情况下，自旋作用表现出来是另外一种自由度，与电子的外部空间运动没有直接关系，所以对它的描写只能以外来方式添加在dingeroSchr&&方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种场合下的运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理本质依然不十分了解1。§7.1电子自旋角动量1,电子自旋的实验基础和其特点早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子sp12→的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线分裂，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能分裂谱线为()12+l重，即奇数重；1922年1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年156Stern—Gerlach实验，实验中使用的是中性顺磁的银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，由于束是中性的，不受Lorentz力的作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发出来成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的，于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为Bμ±，即数值为Bohr磁子。针对以上难以解释的实验现象，1925年Uhlenbeck和Goudsmit提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量,sv它在任意方向的取值只能有2h±两个数值。为使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μr并且和自旋角动量sv之间的关系为（电子电荷为e−）scevrμμ−=（7。1）这表明，电子自旋的旋磁比是轨道旋磁比的两倍。于是，电子便具有了μμrv,,,se共四个内禀的物理量。根据实验事实用外加的方式引入电子自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及在外场下的多重分裂现象，也都得到了很好的解释。然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。假设电子半径为er，作为定性的估算可以合理地假定157h~,~22prcreeeμ∴,1372ccecrpe=⎟⎠⎞⎜⎝⎛≈≈=hhμμυ这就是说，为了要在er的半径下旋转得出h的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。2,电子自旋态的表示法由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新变数zs只能取两个值2h±，于是电子的状态波函数应当是一个两分量的列矢量，()()()()βψαψψψψtrtrtrtrtsrzvrvvv2121)(,,,,+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=(7.2)这里⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10,01βα分别代表自旋角动量第三分量22hh−和朝下取朝上zs的状态。于是自旋朝上的几率=∫rdv21ψ∫=自旋朝下的几率rdv22ψ总的归一化表示为()∫∫=+=+12221ψψψψrdrdvv(7.3)如果系统哈密顿量H中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可以分开（即sHHH+=0），则自旋波函数和空间波函数就可以分离，158()()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==βχαχχχχχϕψtttttststrtsrzzz2121,,,,vv考虑电子自旋角动量之后，dingeroSchr&&方程便由单分量的方程扩充为两分量的方程，后者常称为Pauli方程。3,自旋算符与Pauli矩阵一方面，自旋既是角动量就应当满足角动量的对易规则，[]kijkjisissεh=,,这里zyxi,,=等（7。4）另一方面，自旋变数取值只有两个，21±，并且波函数相应为两分量的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符iS自然应当是3个22×的厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二阶厄米矩阵iσ来表示iS，令iiSσ2h=,),,(zyxi=(7.5)这里已经抽出iS的绝对数值2h，所以iσ的本征值只能为1±，就是说，iσ为自逆矩阵。将iσ代入对易规则（7。4）式，就得到决定它们的下列关系，[]⎩⎨⎧==022,σσσεσσikijkjii(7.6a)⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10010σ为二阶单位矩阵。由iσ间的这些对易关系也能导出iσ间的反对易关系，[][][][]ijijiijijσσσσσσσσσσ,,,,020+===()}{.,22kiijkikkiijkiiσσεσσσσε=+=对任一给定的j，总可以取ki,，使jki≠≠，于是得到iσ之间的反对159易关系，}{,0,=kiσσki≠将它们代入(7。6a)式，便有kijkjiiσεσσ=，()kji≠≠(7.6b)综合（7。6b）式的反对易关系以及12=iσ，有}{ijjiδσσ2,=，),,,(zyxji=(7.6c)当然，由这里的反对易关系（7.6c）式也可以推出上面的对易关系（7.6a）式，两者彼此等价。它们表明：iσ是自逆的、反对易的和零迹的。昀后一点是由于[]kijkjitritrσεσσ2,0==∴0=ktrσ.()zyxk,,=这些关系式和结论是下面决定iσ表达式的出发点。现在往求这三个厄米矩阵的具体形式。应当预先指出，由上面这组根据物理要求得出的反对易规则，并不能完全确定这组厄米矩阵。要想完全确定它们，必需另外附加规定。而不同附加规定所求得的三个iσ也将不同，但这些不同组的iσ均能满足上面的全部物理要求，因而在物理上是等价的。不同组之间相差一个22×的幺正变换。这就出现一个需要选择iσ的表象的问题。这里只给出iσ的一个常用表象。为此作一个附加的规定：zσ是对角的。再考虑到zσ的本征值为±1，于是就可以直接写出它为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001zσ160进一步，根据xσ必须是零迹的厄米矩阵，可令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∗abbaxσ，ba,为两个待定的复数。根据,zxxzσσσσ−=代入zσ和xσ的表达式后可得,0=a考虑到⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=10012xσ，αieb=又得为任一相因子。至此仍不能完全决定xσ，再进一步约定位相0=α，于是有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0110xσ接着由（7.6b）式，求得yσ为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=00iiixzyσσσ总之，在规定zσ为对角形式并约定xσ的位相之后，就得到下面这组22×的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵——Pauli矩阵，用它们就可以具体地实现自旋角动量的对易规则，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0110xσ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=00iiyσ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001zσ(7.7)简单考察可以相信，这三个矩阵再加上0σ组成一组完全基，用它们可以分解（展开）任何22×的复矩阵。应当说，由于它们的自逆性质和iσ之间的反对易性质，用它们作分解（展开）并随之而来的乘法运算中将会表明这是昀便于使用的一组基(因为伴随相乘而来的交叉项之和将消失,各个自乘项矩阵本身又为0σ)，类似于在通常矢量展开中选用了一组正交归一基矢时那样。4,例算[例1]证明等式()()()σσσvvvvvvvvv⋅×+⋅=⋅⋅BAiBABA。这里，BAvv,是两个三维矢量，161BAvv⋅项中已略写0σ()()jijiijbaBAσσσσ∑==⋅⋅31vvvv()jijijijiiiibabaσσ∑∑≠==+=31,31kjiijkkjijibaiBAσε∑≠≠=+⋅=31,vv()σvvvvv⋅×+⋅=BAiBA（7。8）[例2]求nvv⋅σ的本征态，{}θϕθϕθcos,sinsin,cossin=nr。由例1，()12=⋅nvvσ，厄米矩阵nrr⋅σ的本征值为1±。设其本征态为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=banrχ，写出本征方程⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅babanvvσ也即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛±=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−babaeeiiθθθθϕϕcossinsincos解出a和b即得相应于本征值1±的本征态()()nr±χ为()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−−−+2cos2sin2sin2cos2222θθχθθχϕϕϕϕiiiieeneenrr（7。9）显然在()()nr±χ态中自旋平均值为()()()()nnnvrvr±=±±χσχ（7。10）162[例3]证明()ασαασαsin.cos.vvvreiei+=，这里αααvv=e为αv方向单位矢量，ααvv=。由于()()()()12120220.!12!2++∞=∞=⋅++⋅=∑∑nnnnnnininieσασασαvvvvvv由例1得(),22ασα=⋅vr于是()()()()()∑∑∞=∞=+−⋅+−=0202.!121!21nnnnnninineασαασαvvvv昀后得到ασαασαsin)(cosvvvv⋅+=⋅eiei（7。11）这个公式以及它的特殊情况（αv只有某一个或两个分量）很常用1。[例4]证明⎪⎩⎪⎨⎧−=+=−−ασασσασασσσασασασαsincossincos2222yzizizyiyixxxxeeee（7。12）利用例3结果，可得⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−2sin2cos2sin2cos22ασασασασσασαxyxiyiiieexx[]2sin,2cos2sin2cos22ασσσσσααασxyxyxyi+−==ασασsincoszy+由xzyx→→→的循环置换，可以得到其余四个公式。顺便指出，由于xieσα2−是对两分量自旋态绕x轴转α角的转动。依托这一图象，这几1仔细研究这里的证明，可以看出针对以下三种情况有三种结果：若T为任意矩阵，则有：()()TiTeTiαααsincos+=；若T为自逆矩阵，则有：αααsincosiTIeTi+=；若Tv为三个自逆反对易矩阵，则有：()ααααsincosTeiIeTivvvv⋅+=⋅。163个公式便很容易理解。[例5]计算()102−+xσσ。可将所求的逆矩阵按}{zyxσσσσ,0,,展开，即假定()0102δαγσβσασσσ+++=+−zyxx这里δγβα,,,为待定系数。于是()()xzyxσσδσγσβσασσ++++=0002()()()()02222σαδσβγσγβσδα++−++++=zyxiizyxσσσ和,,前的系数必须都为零，而12=+αδ，即得,0,31==−=γβα32=δ。于是()xxσσσσ31322010−=+−5,21自旋态的极化矢量与投影算符自旋态δ的极化矢量δpv定义为δσδδvv=p(7.13)将任意态δ表示为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ϕθθiecossin，直接计算即可表明，δpv的模长为1。注意，由于δpv是一个经过态平均之后的矢量，它具有一些经典性质，可以对它作普通矢量的几何分解。向一个自旋态λ投影的投影算子λπ定义为λλπλ=(7.14)于是，在自旋态δ中找到自旋态λ的几率为2|λδδπδλλδ==p(7.15)注意δλλδpp=。电子任意自旋态λ的λλπ和pv之间有一个有用的关系式，164()σπλλvv⋅+=p121(7.16)证明：如此定义的算符λπ的是个投影算子，因为()()[]=⋅⋅++=σσσπλλλλrvvvvvppp.2