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2015-2016学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期中数学试卷（A卷）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．一元二次方程x2=2x的根是（）A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣22．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）3．在下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．抛物线y=x2的顶点坐标是（）A．（，0）B．（0，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≤16．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3B．最大值﹣3C．最小值2D．最大值27．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣48．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°9．已知x2﹣2x﹣8=0，则3x2﹣6x﹣18值为（）A．﹣18B．﹣10C．6D．5410．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．c＜0B．y的最小值为负值C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．若函数y=是二次函数，则m的值为．12．方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则另一个根是．13．如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转30°得到△A1B1C，A1B1交AC于点D，若∠A1DC=90°，则∠A的度数是．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．15．若点P（m，﹣m+3）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是．16．如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为．三、解答题（共9小题，满分66分）17．解方程：3（x﹣1）2=x（x﹣1）18．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC=∠CDE=90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．19．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价（x）定为多少元时，才能使每天所赚的利润（y）最大并求出最大利润．20．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：a△b=a2﹣b2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．21．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．（1）写出点A，C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离．22．已知抛物线y=x2﹣（k+3）x+2k﹣1（1）证明：无论k取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线与y轴交于点（0，5），求k的值．23．如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等．甬道面积是整个梯形面积的．设甬道的宽为x米．（1）求梯形ABCD的周长；（2）用含x的式子表示甬道的总长；（3）求甬道的宽是多少米？24．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．25．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）点P为y轴右侧抛物线上一个动点，若S△PAB=32，求出此时P点的坐标．2015-2016学年广东省汕头市潮南区九年级（上）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．一元二次方程x2=2x的根是（）A．x=2B．x=0C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．【解答】解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2．在平面直角坐标系内，点P（﹣2，3）关于原点的对称点Q的坐标为（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣2，﹣3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．故选：A．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．3．在下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故A选项错误；B、不是中心对称图形．故B选项错误；C、是中心对称图形．故C选项正确；D、不是中心对称图形．故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．抛物线y=x2的顶点坐标是（）A．（，0）B．（0，0）C．（0，﹣）D．（﹣，0）【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线顶点式y=ax2直接得出顶点坐标即可．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0）．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式求顶点坐标的方法是解决问题的关键．5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（）A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≤1【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，∴△≥0，即4﹣4m≥0，∴﹣4m≥﹣4，∴m≤1．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为（2，﹣3），那么该抛物线有（）A．最小值﹣3B．最大值﹣3C．最小值2D．最大值2【考点】二次函数的最值．【分析】根据抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），可直接做出判断．【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（2，﹣3），所以该抛物线有最大值﹣3．故选B．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．7．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，∴4+5a+a2=0，∴（a+1）（a+4）=0，解得a1=﹣1，a2=﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．8．如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（）A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°【考点】几何变换的类型．【分析】观察图象可知，先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到．【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选：B．【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．9．已知x2﹣2x﹣8=0，则3x2﹣6x﹣18值为（）A．﹣18B．﹣10C．6D．54【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】已知等式变形求出x2﹣2x的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：由x2﹣2x﹣8=0，得到x2﹣2x=8，则原式=3（x2﹣2x）﹣18=24﹣18=6，故选C．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．c＜0B．y的最小值为负值C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数与坐标轴的交点，最值问题以及增减性和对称性结合图形对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵二次函数图象与y轴负半轴相交，∴c＜0，故本选项结论正确；B、∵二次函数图象顶点在x轴下方，∴y的最小值为负值，故本选项结论正确；C、由图可知，当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项结论错误；D、∵二次函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴与x轴的另一交点为（3，0），∴x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根，故本选项结论正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题，增减性，对称性，熟记性质并准确识图是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．若函数y=是二次函数，则m的值为±1．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：∵函数y=是二次函数，∴m2+1=2，解得m=±1．故答案为：±1．【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．12．方程x2+5x﹣m=0的一个根是2，则另一个根是x=﹣7．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系得出两根的和为﹣5，求得另一个根即可．【解答】解：设方程的另一根为x，则2+x=﹣5，得x=﹣7，即另一个根是x=﹣7．故答案为：x=﹣7．【点评】此题考查根与系数的关系，设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．13．如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转30°得到△A1B1C，A1B1交AC于点D，若∠A1DC=90°，则∠A的度数是60°．【考点】旋转的性质．【分析】在直角△A1DC中利用内角和定理求得∠A1度数，然后根据∠A=∠A1求解．【解答】解：∵∠A1DC=90°，∴在直角△A1DC中，∠A1=90°﹣∠A