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2015-2016学年广东省汕头市潮南区九年级（下）第三次半月考数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．根据图示填空：（1）sinB==（2）cos∠ACD=．2．若α是锐角且sinα=，则α的度数是．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．4．在△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a﹕b﹕c为．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，则BC的长是．7．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为．8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．9．直角三角形中，若sin35°=cosα，则α=．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C=度．12．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．二、选择题（每小题3分，共24分）13．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小14．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，cosC的值是（）A．B．C．D．15．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5C．2D．316．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB的值一定（）A．小于1B．不小于1C．大于1D．等于118．已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60°B．60°≤A＜90°C．0°＜A≤30°D．30°≤A＜90°19．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米20．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．三、计算下列各题（本题14分）21．计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1．22．计算：+sin45°．四、(本题9分)23．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠B=60°，解这个直角三角形．五、（本题9分）24．如图，已知一个等腰三角形ABC的底边长为10，面积为25，求：（1）△ABC的三个内角；（2）△ABC的周长．六、（本题12分）25．某市为了改善市区交通状况，计划修建一座新大桥，如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直与新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米，sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．）七、（本题16分）26．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？2015-2016学年广东省汕头市潮南区九年级（下）第三次半月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．根据图示填空：（1）sinB==（2）cos∠ACD=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】（1）、（2）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：（1）sinB==．故答案为：BC，AC；（2）cos∠ACD=．故答案为：AC．2．若α是锐角且sinα=，则α的度数是60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】结合各特殊角的三角函数值，进行求解即可．【解答】解：∵α是锐角且sinα=，∴∠α=60°．故答案为：60°．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．【解答】解：tanA==，故答案为：．4．在△ABC中，∠C=90°，cosB=，则a﹕b﹕c为2：：3．【考点】解直角三角形．【分析】先利用余弦的定义得到cosB==，则可设BC=2k，AB=3k，再利用勾股定理计算出AC，然后计算三角形三边的比．【解答】解：如图，∵cosB==，∴可设BC=2k，AB=3k，∴AC==k，∴a：b：c=2k：k：3k=2：：3．故答案为2：：3．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=2BC，则cosA=．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据余弦函数的定义，可得答案．【解答】解：由勾股定理，得AB=BC．由余弦函数的定义，得cosA===．故答案是：．6．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，则BC的长是8．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系求出即可．【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cotA=，∴cotA==，∴BC=8．故答案为：8．7．已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】先根据α为锐角及tan60°=解答即可．【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）=，∴90°﹣α=60°，∴α=30°．故答案为：30°．8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】利用勾股定理求得水平距离．根据坡度定义求解．【解答】解：∵某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为2米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4米．所以这个坡面的坡度比为2：4=1：2．9．直角三角形中，若sin35°=cosα，则α=55°．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°﹣∠A），求解即可．【解答】解：根据直角三角形中正余弦之间的关系，可得：sin35°=cos（90°﹣35°）=cos55°，∴α=55°．故答案为：55°．10．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．【解答】解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C=120度．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出sinA与cosB的值，再根据特殊角三角函数值求出∠A与∠B的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∴sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=30°，∴∠C=180°﹣30°﹣30°=120°．故答案为：120．12．如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，CD=8，AC⊥CD，若sin∠ACB=，则cos∠ADC=．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】首先在△ABC中，根据三角函数值计算出AC的长，再利用勾股定理计算出AD的长，然后根据余弦定义可算出cos∠ADC．【解答】解：∵∠B=90°，sin∠ACB=，∴=，∵AB=2，∴AC=6，∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∴AD===10，∴cos∠ADC==．故答案为：．二、选择题（每小题3分，共24分）13．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A．也扩大3倍B．缩小为原来的C．都不变D．有的扩大，有的缩小【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．【解答】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变．故选C．14．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，cosC的值是（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角形的内角和，可得∠C，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由三角形的内角和，得∠C=180°﹣∠A﹣∠B=30°，cosC=cos30°=，故选：C．15．如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1B．1.5C．2D．3【考点】锐角三角函数的定义；坐标与图形性质．【分析】根据正切的定义即可求解．【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）A．B．C．D．【考点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数关系进行解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选：B．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA•tanB的值一定（）A．小于1B．不小于1C．大于1D．等于1【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正切函数的定义，利用△ABC的边表示出两个三角函数，即可求解．【解答】解：tanA•tanB=•=1，故选D．18．已知A为锐角，且cosA≤，那么（）A．0°≤A≤60°B．60°≤A＜90°C．0°＜A≤30°D．30°≤A＜90°【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】首先明确cos60°=，再根据余弦函数值随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos60°=，余弦函数值随角增大而减小，∴当cosA≤时，∠A≥60°．又∠A是锐角，∴60°≤A＜90°．故选B．19．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】先根据坡度的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出AB的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵i==，AC=12米，∴BC=6米，根据勾股定理得：AB==6米，故选：B．20．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1B．C．3D．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵cos∠ACD=，∴cos∠B=，∴tan∠B=，∵BC=4，∴tan∠B=，∴=，∴AC=．故选：D．三、计算下列各题（本题14分）21．计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果