小专题(七) 线段的垂直平分线的应用

小专题(七)线段的垂直平分线的应用类型1线段的垂直平分线的性质在求线段长中的应用1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为F，G，已知△ADE的周长为12cm，则BC＝12_cm．2．如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．解：∵△ACD的周长是14cm，∴AD＋DC＋AC＝14cm.又∵DE是BC的垂直平分线，∴BD＝DC.∴AD＋DC＝AD＋BD＝AB.∴AB＋AC＝14cm.∵AB比AC长3cm，∴AB－AC＝3cm.∴AB＝8.5cm，AC＝5.5cm.3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE.∵E是CD的中点，∴DE＝CE.又∵∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE(ASA)．∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.又∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线．∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.类型2线段垂直平分线的性质在实际问题中的应用4．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置，如图．类型3线段的垂直平分线的性质在判定两线段位置关系中的应用5．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线(即垂直平分线)，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．解：OI⊥BC.证明：连接AO，延长OI交BC于点M.∵OE，OF分别为AB，AC的中垂线，∴OA＝OB，OA＝OC.∴OB＝OC.又∵BI，CI分别为∠OBC，∠OCB的平分线，∴点I必在∠BOC的平分线上．∴∠BOI＝∠COI.在△BOM和△COM中，OB＝OC，∠BOM＝∠COM，OM＝OM，∴△BOM≌△COM(SAS)．∴∠BMO＝∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO＝180°.∴∠BMO＝∠CMO＝90°.∴OI⊥BC.