小专题(九) 与等腰三角形的性质与判定相关的证明

小专题(九)与等腰三角形的性质与判定相关的证明类型1证明线段或角的数量关系1．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.证明：连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∴△AED≌△AFD(SAS)．∴DE＝DF.2．已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD.证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADB＝90°.∴∠EBC＝∠EAH.∵BE＝AE，∴△AHE≌△BCE.∴AH＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F，交BC于E，求证：∠ADB＝∠CDE.证明：过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.∴∠ABF＝∠CAG.在△ABD和△CAG中，∠ABF＝∠CAG，AB＝AC，∠BAD＝∠ACG＝90°，∴△ABD≌△CAG(ASA)．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.又∵D为AC中点，∴AD＝CD.∴CD＝CG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠ACB＝∠GCE.∴△CDE≌△CGE(SAS)．∴∠CDE＝∠G.∴∠ADB＝∠CDE.4．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB＋BD＝AC.证明：延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.又∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.类型2证明线段的位置关系5．如图，点C是线段AB上任意一点(点C与点A，B不重合)，分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N，连接MN.求证：(1)△ACM≌△DCN；(2)MN∥AB.证明：(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝60°.∵∠ACD＋∠DCE＋∠ECB＝180°，∴∠DCE＝60°.∴∠ACE＝∠DCB＝120°.在△ACE和△DCB中，AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴∠EAC＝∠BDC.在△ACM和△DCN中，∠MAC＝∠NDC，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，∴△ACM≌△DCN(ASA)．(2)由(1)知△ACM≌△DCN，∴CM＝CN.又∵∠MCN＝60°，∴△CNM为等边三角形，∠NMC＝60°.∴∠NMC＝∠ACM＝60°.∴MN∥AB.6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF.证明：连接ED，FD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，BD＝CF，∠B＝∠C，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF.又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF.类型3判断三角形的形状7．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则△BOD和△COE都是直角三角形．∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE.∵∠1＝∠2，∴OB＝OC.∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)．∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．8．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．(1)如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；(2)如图2，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍具有(1)中的形状，并说明理由．解：(1)△DEF为等腰直角三角形．理由：连接AD，易证△BDE≌△ADF，∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.又∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．(2)是，理由略．