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第2课时与方向角、坡角有关的解直角三角形应用题基础题知识点1利用方向角解直角三角形1．如图，某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点，B在O点的正东方，且在A的正南方，则此时AB间的距离是________米．(结果保留根号)2．(百色中考)有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里到C处，测得小岛P在正东方向上，则A、B之间的距离是()A．103海里B．(102－10)海里C．10海里D．(103－10)海里3．(昭通中考)小亮一家在一湖泊中游玩，湖泊中有一孤岛，妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图所示)．小船从P处出发，沿北偏东60°方向划行200米到A处，接着向正南方向划行一段时间到B处．在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2≈1.41，3≈1.73)知识点2利用坡度(角)解直角三角形4．(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1∶3，则AB的长为()A．12米B．43米C．53米D．63米5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．6．(昆明中考)如图，为了缓解交通拥堵，方便行人，在某街道计划修建一座横断面为梯形ABCD的过街天桥，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2(垂直高度CE与水平宽度DE的比)，上底BC＝10m，天桥高度CE＝5m，求天桥下底AD的长度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)中档题7．(铜仁中考)如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．已知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(3≈1.732)8．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)综合题9．(南充中考)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我国两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，如图，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离；(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．参考答案1．1032.D3.过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，AP＝200m，∠ACP＝90°，∠PAC＝60°.∴PC＝200×sin60°＝200×32＝1003(m)．∵在Rt△PBC中，sin37°＝PCPB，∴PB＝PCsin37°＝100×1.730.6≈288(m)．答：小亮与妈妈相距约288米．4.A5.356.过B点作BF⊥AD于点F.∵四边形BFEC是矩形，∴BF＝CE＝5m，EF＝BC＝10m．∵在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝BFAF，∴AF＝BFtan35°≈50.70≈7.14(m)．∵斜坡CD的坡度为i＝1∶1.2，∴CEED＝11.2，ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．∴AD＝AF＋FE＋ED＝7.14＋10＋6＝23.14≈23.1(m)．答：天桥下底AD的长度为23.1m．7.该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险．理由如下：由题意，得∠ABD＝30°，∠ACD＝60°.∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝200海里．在Rt△ACD中，设CD＝x海里，则AC＝2x，AD＝AC2－CD2＝（2x）2－x2＝3x.在Rt△ABD中，AB＝2AD＝23x，BD＝AB2－AD2＝（23x）2－（3x）2＝3x.又∵BD＝BC＋CD，∴3x＝200＋x，解得x＝100.∴AD＝3x＝1003≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行驶，轮船无触礁的危险．8.过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝EFCF＝13＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°.∴EF＝12CE＝10米，CF＝103米．∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋103)米．在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋103)米．∴AB＝AH＋HB＝(35＋103)米．答：楼房AB的高为(35＋103)米．9.(1)过点P作PH⊥AB于点H，根据题意，得∠PAH＝90°－53.5°＝36.5°，∠PBH＝45°，AB＝140海里．设PH＝x海里，在Rt△PHB中，tan45°＝xBH，∴BH＝x.在Rt△PHA中，tan36.5°＝xAH，∴AH＝xtan36.5＝43x.又∵AB＝140，∴43x＋x＝140，解得x＝60，即PH＝60.答：可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离为60海里．(2)在Rt△PHA中，AH＝43×60＝80，PA＝602＋802＝100.救助船A到达P处的时间tA＝100÷40＝2.5(小时)；在Rt△PHB中，PB＝602＋602＝602，救助船B到达P处的时间tB＝602÷30＝22(小时)．∵2.5＜22，∴救助船A先到达P处．