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八年级下期末模拟试卷三（本试卷共五大题，26小题，满分150分）一、选择题（本题共8小题；每小题3分，共24分）1.在下列图形中，为中心对称图形的是()A.等腰梯形B.平行四边形C.正五边形D.等腰三角形2.如图，中，，是边上的高线，，则等于()A.B.C.D.√3.如果关于的二次方程()()有两个相等的实数根，那么以正数、、为边长的三角形是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形4.如图，在中，，．分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于()A.B.C.D.5.如图，点在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为()A.B.C.D.（2题图）（4题图）（5题图）6.在面积为的平行四边形中，过点作直线于点，作直线于点，若，，则的值为()A.√B.√C.√或√D.√或√7.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形为矩形，且，为记录寻宝者的行进路线，在的中点处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为，寻宝者与定位仪器之间的距离为，若寻宝者匀速行进，且表示与的函数关系的图象大致如图2中的实线所示，则寻宝者的行进路线可能为()A.B.C.D.8.在平面直角坐标中，直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为，过点()作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以、为邻边作平行四边形；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，以、为邻边作平行四边形；；按此作法继续下去，则的坐标是()A.(√)B.(√)C.(√)D.(√)二、填空题（本题共8小题；每小题3分，共24分）9.如图所示，在矩形中，，，将按逆时针方向绕点旋转到（点，，在同一直线上），连接，则．10.新园小区计划在一块长为米，宽为米的矩形场地上修建三条同样宽的甬路（两条纵向、一条横向，且横向、纵向互相垂直），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到，则甬路宽为多少米?设甬路宽为米，则根据题意，可列方程为．11.已知一次函数的图象与直线平行，且过点()，那么此一次函数的解析式为．12.以线段为对角线的四边形（它的四个顶点、、、按顺时针方向排列），已知，，；则的大小为．13.如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则的长为．（9题图）（10题图）（13题图）（14题图）14.如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的长为．15.如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．若，，则四边形的周长为．16.在直角坐标系中，直线与轴交于点，按如图方式作正方形、、，，，在直线上，点，，在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为，，，，则的值为（用含的代数式表示，为正整数）．（15题图）（16题图）三、解答题（本大题共4小题；其中17、18题、19各9分，20题12分，共39分）17.已知关于的一元二次方程()．（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2）已知，是原方程的两个根，且∣∣∣∣√，求的值，并求出此时方程的根．18.如图，是的中线，点是的中点，．（1）求证：；（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由．19.某校开展“人人读书”活动．小明为调查同学们的阅读兴趣，抽样调查了名学生在本校图书馆的借阅情况（每人每次只能借阅一本图书），绘制了统计图1．并根据图书馆各类图书所占比例情况绘制了统计图2，已知综合类图书有本．（1）补全统计图1；（2）该校图书馆共有图书本；（3）若该校共有学生人，试估算，借阅文学类图书的有人．20.如图，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，是边上一点且不与重合，连接，过点作，交轴于点，交轴于点，过点作交轴于点．（1）若为等腰直角三角形，求点的坐标；（2）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式．四、解答题（本大题共3小题；其中21、22题各10分，23题8分，共28分）21.已知中，为的中点，直线绕点旋转，过，，分别作于点，于点，于点．（1）当直线经过点时，如图1，求证：（2）当直线不经过点，旋转到如图2、图3的位置时，线段，，之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．22.小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程()与时间()的函数关系．试结合图中信息回答：（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发?（2）试求线段，的交叉点的坐标，并说明它的实际意义；（3）如果小聪到达宾馆后，立即以的速度按原路返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧?23.在平面直角坐标系中，图形的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于轴，轴，图形的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为，我们称常数为图形的投影比．如图1，矩形为的投影矩形，其投影比．（1）如图2，若点()，()，则投影比的值为．（2）已知点()，在函数（其中）的图象上有一点，若的投影比，求点的坐标．（3）已知点()，在直线上有一点()和一动点，若的投影比，则点的横坐标的取值范围（直接写出答案）．五、解答题（本大题共3小题；其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24.在中，，，为斜边上的中线，将绕点顺时针旋转()得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点．与相交于点．（1）如图1，直接写出与的数量关系：；（2）如图2，，分别为，的中点．求证：√；（3）连接，，如图3，求在此旋转过程中，线段，与之间的数量关系25.小伟遇到这样一个问题：如图1，在（其中是一个可以变化的角）中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点为旋转中心将逆时针旋转得到，连接，当点落在上时，此题可解（如图2）．（1）请你回答：的最大值是．（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰．边，为内部一点，请写出求的最小值的解题思路．提示：要解决的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把绕点逆时针旋转，得到．①请画出旋转后的图形②求的最小值26.一次函数与正比例函数的图象交于点，且与轴交于点．（1）求点和点的坐标；（2）过点作轴于点，过点作直线轴．动点从点出发，以每秒个单位长的速度，沿的路线向点运动；同时直线从点出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线交轴于点，交线段或线段于点．当点到达点时，点和直线都停止运动．在运动过程中，设动点运动的时间为秒．①当为何值时，以、、为顶点的三角形的面积为?②是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案第一部分1.B2.B【解析】提示：由已知得，则√．3.C【解析】()()，整理得()．方程有两个相等的实数根，()()()，即．以正数、、为边长的三角形是直角三角形．4.A【解析】()．，．5.D【解析】作于点，于点．易证（），且四边形为正方形，所以．由题意可得，所以．所以四边形四边形．6.D【解析】①由题意画图如下：平行四边形面积为，直线，直线，，，，．√，√．√，√．√．②由题意画图如下：平行四边形面积为，直线，直线，，，，．√，√．√，√．√．7.B【解析】，为中点，．由图2可知，寻宝者与定位仪器之间的距离的图象是对称的，而且点到的距离等于．寻宝者不能从点出发，（因为图2中虚线上面部分最高点和下面部的最低点到虚线的距离不相等），而且寻宝者的路线不会经过点．寻宝者行进的路线应该是．8.C【解析】直线经过原点，且与轴正半轴所夹的锐角为，直线的解析式为√．轴，点()，可设点坐标为()，将()代入√，解得√，点坐标为(√)，√，在中，，，√，，平行四边形中，√，点的坐标为(√)，即(√)；由√，解得√，点坐标为(√)，√．在中，，，√，，平行四边形中，√，点的坐标为(√)，即(√)；同理，可得点的坐标为(√)，即(√)；以此类推，则的坐标是(√)．第二部分9.√【解析】10.()()【解析】如图，草坪可整理为一个矩形，长为()米，宽为()米，即列的方程为()()．11.【解析】设一次函数解析式为．一次函数的图象与直线平行，，把()代入得，解得，一次函数解析式为．12.或【解析】，，．，．根据题意画图如下：此时满足，则四边形是菱形，．当时，，且与不平行，四边形是等腰梯形，．13.√【解析】，，，√．14.【解析】√．由折叠的性质得，．设，则，，．在中，，即()，解得．15.【解析】，，四边形是平行四边形．，．又点是中点，，四边形是菱形．设，则，，在中，，即()()，解得．故四边形的周长．16.【解析】直线，当时，，当时，，，，，，，．，，()同理得，，()()．第三部分17.（1）()()()无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．（2），是原方程的两个根，()，．∣∣√，()，()，[()]()，整理，得，解得，．当时，，解得√，√；当时，，解得√，√．18.（1）是边上的中线，，，，．在和中，{（），．（2）是的中线，是的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，是直角三角形，，，，四边形是菱形．19.（1）如图所示．（2）【解析】，（本）．（3）【解析】（人）．20.（1）为等腰直角三角形，，．四边形是矩形，，，．．．又，，，．()．（2）四边形是平行四边形，．，，，，．．过作轴于．．又，，．，，()，()．的解析式为．21.（2）图2的结论为()．图3的结论为()．图2的结论证明如下：连接并延长交的延长线于点，，，，，，，，，．由（1）知，()()．图3的结论证明如下：连接并延长交于点，，，，，，，，，，由（1）知，()()．22.（1）小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为()，小聪上午10：00到达宾馆，小聪从飞瀑出发的时刻为，小聪早上7：30从飞瀑出发．（2）设直线的函数表达式为，由于点的坐标为()，点的坐标为()，则有{解得{直线的函数表达式为，又点的纵坐标为，当时，，解得，坐标为()．点的实际意义是上午8：30小慧与小聪在离宾馆（及景点草甸）处第一次相遇．（3）方法1：设直线的函数表达式为，该直线过点和()，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间()，所以小慧从飞瀑准备返回时，，即()．则有{解得{直线的函数表达式为，小聪上午10：00到达宾馆后立即以的速度返回飞瀑，所需时间小时．如图为小聪返回时关于的函数图象，点的横坐标为，点()．设直线的函数表达式为，该直线过点()和点()，则有{解得{直线的函数表达式为，由，解得，对应时刻，小聪返回途中上午11：00遇见小慧．方法2：如图过作轴于点，由题意得，点的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又两人速度均为，该路段两人所花时间相同，即，点的横坐标为，小聪返回途中上午11：00遇见小慧．23.（1）（2）点为函数（其中）的图象上的点，设点坐标为()()．分以下两种情况：①当时，如图①所示，作投影矩形．，()．解得．()．②当时，如图②所示，作投影矩形．点坐标为()，点点坐标为()，∣∣，．，，，但此方程无解．当时，满足条件的点不存在．综上所述，点的坐标为()．（3）或【解析】提示：令，，则，.①当时，的投影比，不合题意；②当时，的投影比，符合题意；③时，的投影比，不合题意；④时，的投影比，符合题意.24.（1）（2）如图2，，，为斜边中线，，，是由旋转得到的，，，，即，且．又．，即．连接，取中点，连接，．为中点，为中点，为中点，；，，又，，，，为等腰直角三角形，√．【解析】法二：连接、，，，√．（3）．【解析】设、交于点，，．，，．25.（1）的最大值是：．（2）的最小值是：√√（或不化简为√√），或：或：①如图所示．②要解决的最小值问题，仿照题目给出的做法．把绕点逆时针旋转，得到．发现：和均为等边三角形，原来的根据“两点之间线段最短”，可知：当和都落在线段