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第二十七章相似一、填空题(每题3分，共18分)1．若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为________．图27－Z－12．如图27－Z－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件：________，使△ABC∽△AED.3．如图27－Z－2，AE，BD相交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D.若AC＝4，AB＝3，CD＝2，则CE＝________.图27－Z－24．如图27－Z－3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′.已知OA＝10cm，OA′＝20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________．图27－Z－35．如图27－Z－4，路灯距离地面8m，身高1.6m的小明站在距离灯的底部(点O)20m的A处，则小明的影子AM的长为________m.图27－Z－46．如图27－Z－5，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E在对角线BD上，且BE＝1.8，连接AE并延长交DC于点F，则CFCD＝________．图27－Z－5二、选择题(每题4分，共32分)7．由5a＝6b(a≠0，b≠0)，可得比例式()A.b6＝5aB.b5＝6aC.ab＝56D.a－bb＝158．下列各组中的四条线段成比例的是()A．4cm，4cm，5cm，6cmB．1cm，2cm，3cm，5cmC．3cm，4cm，5cm，6cmD．1cm，2cm，2cm，4cm9．如图27－Z－6，△ACD和△ABC相似需具备的条件是()图27－Z－6A.ACCD＝ABBCB.CDAD＝BCACC．AC2＝AD·ABD．CD2＝AD·BD10.如图27－Z－7，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.若AD＝2BD，则CFBF的值为()图27－Z－7A.12B.13C.14D.2311．如图27－Z－8，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图27－Z－9中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()图27－Z－8图27－Z－912．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图27－Z－10所示，以O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′，那么点A′的坐标为()图27－Z－10A．(－8，－4)B．(－8，4)C．(8，－4)D．(－8，4)或(8，－4)13．将两个三角尺(含45°角的三角尺ABC与含30°角的三角尺DCB)按图27－Z－11所示方式叠放，斜边交点为O，则△AOB与△COD的面积之比等于()图27－Z－11A．1∶2B．1∶2C．1∶3D．1∶314．如图27－Z－12，已知⊙O是等腰直角三角形ABC的外接圆，D是AC︵上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝45，则AE的长是()图27－Z－12A．3B．2C．1D．1.2三、解答题(共50分)15．(10分)已知：如图27－Z－13，△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC.求证：AB·BC＝AC·CD.图27－Z－1316．(12分)如图27－Z－14，在平面直角坐标系中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是________；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；(3)设P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是________．图27－Z－1417．(12分)如图27－Z－15，AB是半圆O的直径，P是BA的延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC.求证：(1)∠PBC＝∠CBD；(2)BC2＝AB·BD.图27－Z－1518．(16分)如图27－Z－16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(0t5)秒，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积．图27－Z－16教师详解详析1．36[解析]∵两个相似六边形的周长比是3∶2，∴它们的面积比为9∶4.∵较大六边形的面积为81，∴较小六边形的面积为81×49＝36.故答案为36.2．∠B＝∠AEB(答案不唯一)[解析]∵∠B＝∠AEB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.故添加条件∠B＝∠AEB即可使得△ABC∽△AED.3．2.5[解析]∵BA⊥AE，AC＝4，AB＝3，∴BC＝32＋42＝5.∵BA⊥AE，ED⊥BD，∴∠A＝∠D＝90°.又∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△DEC，∴ACBC＝CDCE，即45＝2CE，∴CE＝2.5.故答案为2.5.4.125．5[解析]如图，设路灯为点C.由题意可得△MAB∽△MOC，所以ABCO＝AMOM，即1.68＝AMAM＋20，解得AM＝5.6.13[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵AB＝3，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∴BD＝AB2＋AD2＝3.∵BE＝1.8，∴DE＝3－1.8＝1.2.∵AB∥CD，∴DFAB＝DEBE，即DF3＝1.21.8，解得DF＝233，则CF＝CD－DF＝33，∴CFCD＝333＝13.7．D8.D9．C[解析]∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∴根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出需添加的条件是ACAB＝ADAC，∴AC2＝AD·AB.故选C.10．A[解析]∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∠FEC＝∠A，∠C＝∠AED，∴△EFC∽△ADE，∴CFDE＝EFAD，∴CFBF＝CFDE＝EFAD＝BDAD＝12.故选A.11．C[解析]A项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；B项，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C项，两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D项，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选C.12．D13．D[解析]由题意，知∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD.设BC＝a，则AB＝a，CD＝3a，∴AB∶CD＝1∶3，∴S△AOB∶S△COD＝1∶3.故选D.14．C[解析]∵△ABC是等腰直角三角形，BC＝4，∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝42，∴∠D＝90°.在Rt△ABD中，AD＝45，AB＝42，∴BD＝285.∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，∴△ADE∽△BCE.∵AD∶BC＝45∶4＝1∶5，∴△ADE与△BCE的相似比为1∶5.设AE＝x，则BE＝5x，∴DE＝285－5x，∴CE＝28－25x.∵AC＝4，∴x＋28－25x＝4，解得x＝1.15．证明：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD.在△ABD和△ACB中，∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴ABAC＝BDBC，即AB·BC＝AC·BD，∴AB·BC＝AC·CD.16．解：(1)△A1B1C1与△ABC的相似比＝A1B1AB＝42＝2.故答案为2.(2)如图所示：(3)P(a，b)为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点P2的坐标为(－2a，2b)．故答案为(－2a，2b)．17．证明：(1)如图，连接OC，∵PC与⊙O相切，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵BD⊥PD，∴∠BDP＝90°，∴∠OCP＝∠BDP，∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD.∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD.(2)如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°＝∠CDB.又∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即BC2＝AB·BD.18．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，∴AB＝10cm，BC＝53cm.由题意知BM＝2tcm，CN＝3tcm，∴BN＝(53－3t)cm.由BM＝BN，得2t＝53－3t，解得t＝532＋3＝103－15.(2)①当△MBN∽△ABC时，MBAB＝BNBC，即2t10＝53－3t53，解得t＝52.②当△NBM∽△ABC时，NBAB＝BMBC，即53－3t10＝2t53，解得t＝157.∴当t＝52或t＝157时，△MBN与△ABC相似．(3)过点M作MD⊥BC于点D，可得MD＝t.设四边形ACNM的面积为ycm2，则y＝S△ABC－S△BMN＝12AC·BC－12BN·MD＝12×5×53－12×(53－3t)t＝32t2－532t＋2532＝32(t－52)2＋7583.根据二次函数的性质可知，当t＝52时，y的值最小，为7583.即当t＝52时，四边形ACNM的面积最小，最小面积为7583cm2.