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四、转化与化归思想第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-2-高考命题聚焦思想方法诠释转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等.各种转化具体解题方法都是化归的手段,转化与化归的思想方法渗透到所有的数学解题过程中.第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-3-高考命题聚焦思想方法诠释1.转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-4-高考命题聚焦思想方法诠释2.转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中,主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边角关系的相互转化.(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化.(4)在解决数列问题时,常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解.(5)在利用导数研究函数问题时,常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题,转化为其导函数f'(x)构成的方程、不等式问题求解.(6)在解决解析几何、立体几何问题时,常常在数与形之间进行转化.第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四特殊与一般的转化【思考】如何实现由特殊到一般的转化?例1e416,e525,e636(其中e为自然常数)的大小关系是()A.e416e525e636B.e636e525e416C.e525e416e636D.e636e416e525答案解析解析关闭由于e416=e442,e525=e552,e636=e662,故可构造函数f(x)=e𝑥𝑥2,于是f(4)=e416,f(5)=e525,f(6)=e636.而f'(x)=e𝑥𝑥2'=e𝑥·𝑥2-e𝑥·2𝑥𝑥4=e𝑥(𝑥2-2𝑥)𝑥4,令f'(x)0,得x0或x2,即函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,因此有f(4)f(5)f(6),即e416e525e636.答案解析关闭A第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-6-题后反思1.当问题难以入手时,应先对特殊情况或简单情形进行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部分元素,然后推广到一般情形,以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡,这就是特殊化的化归策略.2.数学题目有的具有一般性,有的具有特殊性,解题时,有时需要把一般问题化归为特殊问题,有时需要把特殊问题化归为一般问题.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-7-对点训练1在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,则|𝐴𝐵||𝑀𝑁|+|𝑀𝑁||𝐴𝐵|的取值范围是.答案解析解析关闭设|𝐴𝐵||𝑀𝑁|=t,考虑特殊情况:当AB垂直OP时,MN过点O,|AB|最小,|MN|最大,所以t最小=22,t最大=2.所以t∈22,2.又因为t+1𝑡≥2𝑡·1𝑡=2,所以t+1𝑡∈2,322.答案解析关闭2,322命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-8-命题的等价转化【思考】在应用化归与转化思想去解决问题时应遵循怎样的原则?例2在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量q=(2a,1),p=(2b-c,cosC),且q∥p.(1)求sinA的值;(2)求三角函数式-2cos2𝐶1+tan𝐶+1的取值范围.答案解析解析关闭(1)∵p∥q,∴2acosC=2b-c,根据正弦定理,得2sinAcosC=2sinB-sinC.又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∴12sinC=cosAsinC.∵sinC≠0,∴cosA=12.又∵0Aπ,∴A=π3,sinA=32.(2)-2cos2𝐶1+tan𝐶+1=1-2(cos2𝐶-sin2𝐶)1+sin𝐶cos𝐶=1-2cos2C+2sinCcosC=sin2C-cos2C=2sin2𝐶-π4.∵0C2π3,∴-π42C-π413π12,∴-22sin2𝐶-π4≤1,∴-12sin2𝐶-π4≤2,∴-2cos2𝐶1+tan𝐶+1的取值范围是(-1,2].答案解析关闭D命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-9-题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化繁为简的原则;(2)化生为熟的原则;(3)等价性原则;(4)正难则反的原则;(5)形象具体化原则.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-10-对点训练2(2015重庆高考)设a,b0,a+b=5,则𝑎+1+𝑏+3的最大值为.答案解析解析关闭因为a,b0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令x=a+1,y=b+3,则x+y=9(x1,y3),于是𝑎+1+𝑏+3=𝑥+𝑦,而(𝑥+𝑦)2=x+y+2𝑥𝑦≤x+y+(x+y)=18,所以𝑥+𝑦≤32.此时x=y,即a+1=b+3,结合a+b=5可得a=3.5,b=1.5,故当a=3.5,b=1.5时,𝑎+1+𝑏+3的最大值为32.答案解析关闭32命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-11-常量与变量的转化【思考】怎样的情况下常常进行常量与变量之间的转化?例3设f(x)是定义在R上的单调增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为.答案解析解析关闭∵f(x)在R上是增函数,∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),可得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1,则当且仅当g(-1)=x2-x+2≥0,g(1)=x2+x≥0,解得x≥0或x≤-1.故实数x的取值范围为x≤-1或x≥0.答案解析关闭x≤-1或x≥0命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-12-题后反思在处理多变量的数学问题时,当常量(或参数)在某一范围取值,求变量x的范围时,经常进行常量与变量之间角色的转化,即可以选取其中的常数(或参数),将其看做是变量,而把变量看做是常量,从而达到简化运算的目的.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-13-对点训练3对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x2+px4x+p-3成立的x的取值范围是.答案解析解析关闭设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当x=1时,f(p)=0.所以x≠1.f(p)在0≤p≤4上恒正,等价于𝑓(0)0,𝑓(4)0,即(𝑥-3)(𝑥-1)0,𝑥2-10,解得x3或x-1.答案解析关闭(-∞,-1)∪(3,+∞)命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-14-函数、方程与不等式之间的转化【思考】怎样的情况下常常要进行函数、方程与不等式之间的转化?例4(2015宁夏银川质检)已知函数f(x)=x2+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x-5)=F(5-x).(1)求函数f(x)的解析式;(2)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx在区间(0,1)上单调,求实数a的取值范围;(3)函数h(x)=ln(1+x2)-12f(x)-k有几个零点?命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-15-解:(1)由题设,得F(x)=x2+bsinx.∵F(x-5)=F(5-x),∴F(-x)=F(x),∴x2-bsinx=x2+bsinx,∴bsinx=0对于任意实数x恒成立,∴b=0,故f(x)=x2-2.(2)由(1),得g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx=x2+2x+alnx,故g'(x)=2x+2+𝑎𝑥.∵g(x)在(0,1)上单调,∴只需g'(x)≥0或g'(x)≤0在(0,1)上恒成立,即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在(0,1)上恒成立,∴需a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立.记u(x)=-(2x2+2x),0x1,可知-4u(x)0,∴a≥0或a≤-4.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-16-(3)令y=ln(1+x2)-12f(x),则y'=2𝑥1+𝑥2-x=-𝑥(𝑥+1)(𝑥-1)1+𝑥2.令y'=0,则x=-1,0,1,列表如下.x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y'+0-0+0-y↗极大值ln2+12↘极小值1↗极大值ln2+12↘∴当kln2+12时,无零点;当k1或k=ln2+12时,有两个零点;当k=1时有三个零点;当1kln2+12时,有四个零点.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-17-题后反思函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题;将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题;将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-18-对点训练4已知函数f(x)=x2-alnx-1,函数F(x)=a-1-𝑎1+𝑥.(1)如果f(x)在[3,5]上是单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a=2,x0,且x≠1时,比较𝑓(𝑥)𝑥-1与F(x)的大小.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)∵f(x)=x2-alnx-1在[3,5]上是单调递增函数,∴f'(x)=2x-𝑎𝑥≥0在[3,5]上恒成立.∴a≤2x2在[3,5]上恒成立.∵y=2x2在[3,5]上的最小值为18,∴a≤18.故所求a的取值范围为(-∞,18].第一部分四、转化与化归思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-19-(2)当a=2时,𝑓(𝑥)𝑥-1=𝑥2-2ln𝑥-1𝑥-1,x0,且x≠1,F(x)=a-1-𝑎1+𝑥=1-21+𝑥,x≥0.∴当a=2,x0,且x≠1时,𝑓(𝑥)𝑥-1-F(x)=𝑥2-2ln𝑥-𝑥+2𝑥-2𝑥-1.设h(x)=x2-2lnx-x+2𝑥-2,则h(x)的定义域为(0,+∞)