思想1

第一部分思想方法研析指导一、函数与方程思想第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-3-高考命题聚焦思想方法诠释高考把函数与方程思想作为思想方法的重点来考查,特别是在函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等处可能考到.高考使用主观题考查函数与方程思想的基本运算,而在解答题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-4-高考命题聚焦思想方法诠释1.函数与方程思想的含义(1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.(3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-5-高考命题聚焦思想方法诠释2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y0时,可转化为不等式f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点利用函数思想解决与方程有关的问题【思考】如何处理含参数的方程在给定区间上有解,求参数的取值范围问题?例1已知方程cos2x-sinx+a=0在0,π2上有解,求a的取值范围.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案答案关闭解法一:设f(x)=-cos2x+sinx𝑥∈0,π2.显然当且仅当a属于f(x)的值域时,a=f(x)有解.因为f(x)=-(1-sin2x)+sinx=sin𝑥+122−54,且由x∈0,π2知sinx∈(0,1],易求得f(x)的值域为(-1,1].所以a的取值范围是(-1,1].解法二:令t=sinx,由x∈0,π2,可得t∈(0,1].将方程变为t2+t-1-a=0.依题意,该方程在(0,1]上有解.设f(t)=t2+t-1-a,其图象是开口向上的抛物线,对称轴t=-12,如图.因此f(t)=0在(0,1]上有解等价于𝑓(0)0,𝑓(1)≥0,即-1-𝑎0,1-𝑎≥0,解得-1a≤1.故a的取值范围是(-1,1].第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思本例题的解题思路有两个:一是可分离变量为a=-cos2x+sinx,转化为确定的相关函数的值域;二是将方程问题转化为函数问题,构造函数关系,利用零点存在性定理求解.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1设x0是函数的零点.若0ax0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)0C.f(a)0D.f(a)的符号不确定f(x)=13𝑥-log2x答案解析解析关闭f(x)=13𝑥-log2x为减函数,f(x0)=13𝑥0-log2x0=0,由0ax0,得f(a)f(x0)=0.答案解析关闭C第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数与方程思想在不等式中的应用【思考】如何用函数与方程思想解决不等式恒成立问题?例2设函数f(x)=x2-1,对任意恒成立,求实数m的取值范围.x∈32,+∞,f𝑥𝑚-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解法一:不等式化为f(x-1)+4f(m)-f𝑥𝑚+4m2f(x)≥0,即(x-1)2-1+4m2-4-𝑥2𝑚2+1+4m2x2-4m2≥0,整理得1-1𝑚2+4𝑚2x2-2x-3≥0.因为x20,所以1-1𝑚2+4m2≥2𝑥+3𝑥2.设g(x)=2𝑥+3𝑥2,x∈32,+∞.于是题目化为1-1𝑚2+4m2≥g(x)对任意x∈32,+∞恒成立的问题.为此需求g(x)=2𝑥+3𝑥2,x∈32,+∞的最大值.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四设u=1𝑥,则0u≤23.函数g(x)=h(u)=3u2+2u在区间0,23上是增函数,因而在u=23处取得最大值.h23=3×49+2×23=83,所以1-1𝑚2+4m2≥g(x)max=83,整理得12m4-5m2-3≥0,即(4m2-3)(3m2+1)≥0,所以4m2-3≥0,解得m≤-32或m≥32,因此实数m的取值范围是m∈-∞,-32∪32,+∞.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解法二:不等式化为f(x-1)+4f(m)-f𝑥𝑚+4m2f(x)≥0,即(x-1)2-1+4m2-4-𝑥2𝑚2+1+4m2x2-4m2≥0,整理得1-1𝑚2+4𝑚2x2-2x-3≥0,令F(x)=1-1𝑚2+4𝑚2x2-2x-3.由于F(0)=-30,则其判别式Δ0,因此F(x)的最小值不可能是函数图象顶点的纵坐标,所以为使F(x)≥0对任意x∈32,+∞恒成立,必须使F32为最小值,即实数m应满足1-1𝑚2+4𝑚20,𝐹32≥0,解得m2≥34,因此实数m的取值范围是m∈-∞,-32∪32,+∞.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2已知函数f(x)=ln𝑥+𝑘e𝑥(其中k∈R,e=2.71828…是自然对数的底数),f'(x)为f(x)的导函数.(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若x∈(0,1]时,f'(x)=0都有解,求k的取值范围;(3)若f'(1)=0,试证明:对任意x0,f'(x)e-2+1𝑥2+𝑥恒成立.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)解:由f(x)=ln𝑥+2e𝑥,得f'(x)=1-2𝑥-𝑥ln𝑥𝑥e𝑥,x∈(0,+∞),故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=-1e.∵f(1)=2e,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2e=-1e(x-1),即y=-1ex+3e.(2)解:由f'(x)=0,得k=1-𝑥ln𝑥𝑥,令F(x)=1-𝑥ln𝑥𝑥.∵0x≤1,∴F'(x)=-𝑥+1𝑥20,∴F(x)在(0,1]上单调递减,故F(x)≥1,即k≥1.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(3)证明:由f'(1)=0,得k=1.令g(x)=(x2+x)·f'(x),则g(x)=𝑥+1e𝑥(1-x-xlnx),x∈(0,+∞),因此,对任意x0,g(x)e-2+1等价于1-x-xlnxe𝑥𝑥+1(e-2+1).令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),则h'(x)=-lnx-2,x∈(0,+∞),因此,当x∈(0,e-2)时,h'(x)0,h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)0,h(x)单调递减.因此,h(x)的最大值为h(e-2)=e-2+1,故1-x-xlnx≤e-2+1.设φ(x)=ex-(x+1),∵φ'(x)=ex-1,∴当x∈(0,+∞)时,φ'(x)0,φ(x)单调递增,∴φ(x)φ(0)=0,故当x∈(0,+∞)时,φ(x)=ex-(x+1)0,即e𝑥𝑥+11,∴1-x-xlnx≤e-2+1e𝑥𝑥+1(e-2+1).因此,对任意x0,f'(x)e-2+1𝑥2+𝑥恒成立.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四函数与方程思想在数列中的应用【思考】求等差(或等比)数列中的通项及前n项和的最值的基本方法有哪些?例3(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数Fn(x)=fn(x)-2在12,1内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=12+12𝑥𝑛𝑛+1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)证明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,则Fn(1)=n-10,Fn12=1+12+122+…+12𝑛-2=1-12𝑛+11-12-2=-12𝑛0,所以Fn(x)在12,1内至少存在一个零点.又Fn'(x)=1+2x+…+nxn-10,故Fn(x)在12,1内单调递增,所以Fn(x)在12,1内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)=0,即1-𝑥𝑛𝑛+11-𝑥𝑛-2=0,故xn=12+12𝑥𝑛𝑛+1.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)解:由假设,gn(x)=(𝑛+1)(1+𝑥𝑛)2.设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-(𝑛+1)(1+𝑥𝑛)2,x0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)𝑥𝑛-12.若0x1,则h'(x)xn-1+2xn-1+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=𝑛(𝑛+1)2xn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=0.若x1,则h'(x)xn-1+2xn-1+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=𝑛(𝑛+1)2xn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=0.所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x≠1时,fn(x)gn(x).第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思应用方程思想求等差(或等比)数列中的通项时,根据题中的条件,列出关于首项和公差的方程组,通过解方程组求出数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式写出an.求前n项和Sn的最大值时,依据函数思想先表示出Sn,整理成关于n的函数,再求其最大值.第一部分一、函数与方程思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(2015山东济宁一模)已知等比数列{an}的公比为q,a1=32,其前n项和为Sn(n∈