数列知识点总结及题型归纳

1数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，……，na，……，简记作na。例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数列}{na的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1，2，3，4，5，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是na=n（n7，nN），数列②的通项公式是na=1n（nN）。说明：①na表示数列，na表示数列中的第n项，na=fn表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na=(1)n=1,21()1,2nkkZnk；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数()fn当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff……，()fn，……．通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。例：画出数列12nan的图像.（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，…(2)10,9,8,7,6,5,…(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…（5）数列{na}的前n项和nS与通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn≥例：已知数列}{na的前n项和322nsn，求数列}{na的通项公式二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaadn或1(1)nnaadn。例：等差数列12nan，1nnaa题型二、等差数列的通项公式：1(1)naand；说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。例：1.已知等差数列na中，12497116aaaa，则，等于（）A．15B．30C．31D．642.{}na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于（A）667（B）668（C）669（D）6703.等差数列12,12nbnann，则na为nb为（填“递增数列”或“递减数列”）题型三、等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA即：212nnnaaa（mnmnnaaa2）例：1．（06全国I）设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．752.设数列{}na是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A．1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（3）在等差数列na中，对任意m，nN，()nmaanmd，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若m，n，p，qN且mnpq，则mnpqaaaa；2题型五、等差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnnaannSnadnda）（2n2112。(),(2为常数BABnAnSnna是等差数列)递推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn例：1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）352.（2009湖南卷文）设nS是等差数列na的前n项和，已知23a，611a，则7S等于()A．13B．35C．49D．633.（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=4.（2010重庆文）（2）在等差数列na中，1910aa，则5a的值为（）（A）5（B）6（C）8（D）105.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项6.已知等差数列na的前n项和为nS，若118521221aaaaS，则7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS8．（98全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；9.已知na数列是等差数列，1010a，其前10项的和7010S，则其公差d等于()3132．．BAC.31D.3210.（2009陕西卷文）设等差数列na的前n项和为ns,若6312as,则na11．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn。12.等差数列na的前n项和记为nS，已知50302010aa，①求通项na；②若nS=242，求n13.在等差数列{}na中，（1）已知812148,168,SSad求和；（2）已知658810,5,aSaS求和；(3)已知3151740,aaS求题型六.对于一个等差数列：（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；②1nnSaSa奇偶；（2）若项数为奇数，设共有21n项，则①S奇S偶naa中；②1SnSn奇偶。题型七.对与一个等差数列，nnnnnSSSSS232,,仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为。3．已知等差数列na的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4.设nS为等差数列na的前n项和，971043014SSSS，则，=5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝A．310B．13C．18D．19题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（Nndaann(1na是等差数列②中项法：)221Nnaaannn（na是等差数列③通项公式法：),(为常数bkbknanna是等差数列④前n项和公式法：),(2为常数BABnAnSnna是等差数列3例：1.已知数列}{na满足21nnaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列}{na的通项为52nan，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列}{na的前n项和422nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列}{na的前n项和22nsn，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列}{na满足0212nnnaaa，则数列}{na为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列na满足1a=8，022124nnnaaaa，且（Nn）①求数列na的通项公式；7．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值（1）10a，0d时，nS有最大值；10a，0d时，nS有最小值；（2）nS最值的求法：①若已知nS，nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出na中的正、负分界项，即：若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa。例：1．等差数列na中，12910SSa，，则前项的和最大。2．设等差数列na的前n项和为nS，已知001213123SSa，，①求出公差d的范围，②指出1221SSS，，，中哪一个值最大，并说明理由。3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误．．的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6与S7均为Sn的最大值4．已知数列na的通项9998nn（Nn），则数列na的前30项中最大项和最小项分别是5.已知}{na是等差数列，其中131a，公差8d。（1）数列}{na从哪一项开始小于0？（2）求数列}{na前n项和的最大值，并求出对应n的值．6.已知}{na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列}{na前n项和的最大值．7.在等差数列}{na中，125a，179SS，求nS的最大值．题型十.利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项．1.数列{}na的前n项和21nSn．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}na是等差数列吗？（3）你能写出数列{}na的通项公式吗？2．已知数列na的前n项和，142nnSn则3.设数列}{na的前n项和为Sn=2n2，求数列}{na的通项公式；4.已知数列na中，，31a前n和1)1)(1(21nnanS①求证：数列na是等差数列②求数列na的通项公式5.（2010安徽文）设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）644等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naqq。一、递推关系与通项公式mnmnnnnnqaaqaaaa推广：通项公式：递推关系：111q1．在等比数列na中,2,41qa，则na2．在等比数列na中,3712,2aq,则19_____.a3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比数列na中，22a，545a，则8a=5.在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（）A33B72C84D189二、等比中项：若三个数cba,,成等比数列，则称b为ca与的等比中项，且为acbacb2，注：是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23和23的等比中项为()(