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二、分类讨论思想第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-2-高考命题聚焦思想方法诠释从近五年的高考试题来看,分类讨论思想在高考试题中频繁出现,已成为高考数学的一个热点,也是高考的难点.高考中经常会有几道题,解题思路直接依赖于分类讨论,特别在解答题中(尤其是导数与函数)常有一道分类求解的压轴题,选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论题.第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳思想方法-3-高考命题聚焦思想方法诠释1.分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度.2.分类讨论思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类讨论;(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论;(3)由数学运算要求引起的分类讨论;(4)由图形的不确定性引起的分类讨论;(5)由参数的变化引起的分类讨论;(6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-4-根据数学概念的分类讨论【思考】在中学数学中,哪些概念会引起分类讨论?例1设0x1,a0,且a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小.答案答案关闭∵0x1,∴01-x1,1+x1,01-x21.①当0a1时,loga(1-x)0,loga(1+x)0.|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=loga(1-x)-[-loga(1+x)]=loga(1-x2)0;②当a1时,loga(1-x)0,loga(1+x)0.|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1+x)=-loga(1-x2)0.由①②可知,|loga(1-x)||loga(1+x)|.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思有许多核心的数学概念是分类的,由数学概念引起的分类讨论,如绝对值的定义、二次函数的定义、分段函数的定义、异面直线所成角的定义、直线的斜率、指数、对数函数等.第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-6-答案解析解析关闭∵当x≤2时,f(x)∈[4,+∞),∴当x2时,函数f(x)=3+logax的值域为[4,+∞)的子集.∴𝑎1,3+log𝑎2≥4,解得1a≤2.答案解析关闭(1,2]命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(2015福建高考)若函数f(x)=-𝑥+6,𝑥≤2,3+log𝑎𝑥,𝑥2(a0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是.第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-7-根据运算、定理、公式进行的分类讨论【思考】哪些运算的要求或性质、定理、公式的条件会引起分类讨论?例2(2015四川高考)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M.且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案解析解析关闭如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则𝑦12=4𝑥1,𝑦22=4𝑥2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1≠x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2𝑦0.由CM⊥AB,得kCM=𝑦0𝑥0-5=-𝑦02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以𝑦024x0=12,又x1≠x2,所以y1+y2≠0,即0𝑦0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+𝑦02=r2,即r2=𝑦02+4.所以4r216,即2r4,故选D.答案解析关闭D命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性,基本不等式,等比数列的求和公式在不同的条件下有不同的结论,或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2.有些分类讨论的问题是由运算的需要引发的.比如除法运算中分母能否为零的讨论;解方程及不等式时,两边同乘以一个数是否为零、正数、负数的讨论;二次方程运算中对两根大小的讨论;求函数单调性时,导数正负的讨论;排序问题;差值比较中的差的正负的讨论;有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2若函数f(x)=ax-x-a(a0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭设函数y=ax(a0,且a≠1)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax-x-a有两个零点,就是函数y=ax与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象可知,当0a1时,两函数图象只有一个交点,不符合;当a1时,因为函数y=ax(a1)的图象过点(0,1),而直线y=x+a所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.故实数a的取值范围是(1,+∞).答案解析关闭(1,+∞)命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点根据图形位置或形状变动分类讨论【思考】由图形的位置或形状变动引发的讨论有哪些?例3若x,y满足𝑥+𝑦-2≥0,𝑘𝑥-𝑦+2≥0,𝑦≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为()A.2B.-2C.12D.-12-10-答案解析解析关闭作出线性约束条件𝑥+𝑦-2≥0,𝑘𝑥-𝑦+2≥0,𝑦≥0的可行域,当k0时,如图①所示,显然此时z=y-x无最小值;当k-1时,z=y-x取唯一值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题意.当-1k0时,如图②所示,此时可行域为点A-2𝑘,0,B(2,0),C(0,2)所围成的三角形区域,当直线z=y-x经过点A-2𝑘,0时,有最小值,即--2𝑘=-4⇒k=-12,故选D.图①图②答案解析关闭D命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括:二次函数对称轴位置的变动;函数问题中区间的变动;函数图象形状的变动;直线由斜率引起的位置变动;圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动;立体几何中点、线、面的位置变动等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练3设F1,F2为椭圆𝑥29+𝑦24=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1||PF2|,则|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|的值为.答案解析解析关闭若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2.∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25,解得|PF1|=143,|PF2|=43,∴|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=72.若∠F2PF1=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,∴|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=2.综上所述,|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=2或72.答案解析关闭2或72命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-13-根据字母的取值情况分类讨论【思考】题目中含有参数的分类讨论问题主要有哪些?求解的一般思路是什么?例4已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c.(1)确定a,b的值;(2)若c=3,判断f(x)的单调性;(3)若f(x)有极值,求c的取值范围.答案答案关闭(1)对f(x)求导,得f'(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f'(x)为偶函数,知f'(-x)=f'(x),即2(a-b)(e2x-e-2x)=0,所以a=b.又f'(0)=2a+2b-c=4-c,故a=1,b=1.(2)当c=3时,f(x)=e2x-e-2x-3x,f'(x)=2e2x+2e-2x-3≥22e2𝑥·2e-2𝑥-3=10,故f(x)在R上为增函数.(3)由(1)知,f'(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x≥22e2𝑥·2e-2𝑥=4,当且仅当x=0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c4时,对任意x∈R,f'(x)=2e2x+2e-2x-c0,此时f(x)无极值;当c=4时,对任意x≠0,f'(x)=2e2𝑥+2e-2x-40,此时f(x)无极值;当c4时,令e2x=t,则方程2t+2𝑡-c=0有两根,t1,2=𝑐±𝑐2-1640,t1t2,即f'(x)=0有两个根x1=12lnt1或x2=12lnt2.当x1xx2时,f'(x)0;又当xx2时,f'(x)0,从而f(x)在x=x2处取得极小值.综上知,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思含有参数的分类讨论问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解;(2)含有参数的方程的求解;(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题;(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.求解这类问题的一般思路是:结合参数的意义及参数对结果的影响而进行分类讨论.讨论时,应全面分析参数变化引起结论的变化情况,参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练4已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-16-(1)由f(x)=2x3-3x,得f'(x)=6x2-3,令f'(x)=0,得x=-22或x=22,因为f(-2)=-10,f-22=2,f22=-2,f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f-22=2.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2𝑥03-3x0,且切线斜率为k=6𝑥02-3,所以切线方程为y-y0=(6𝑥02-3)(x-x0),因此t-y0=(6𝑥02-3)(1-x0),整理得4𝑥03-6𝑥02+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在三条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同的零点”,g'(x)=12x2-12x=12x(x-1),g(x)与g'(x)的情况如下:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)g'(x)+0-0+g(x)↗t+3↘t+1↗命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四第一部分二、分类讨论思想思想方法高频考点核心归纳高频考点-17-所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值,当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,g(x)在区间(-∞,1]和