1-6对数与对数函数

2021/3/21第六节对数与对数函数2021/3/212021/3/21重点难点重点：①对数的概念、性质、运算法则、换底公式．②对数函数的概念、图象与性质．难点：①对数的换底公式．②对数函数在a1与0a1时图象、性质的区别．③对数函数图象与性质的应用及简单对数方程、不等式的求解．2021/3/21知识归纳一、对数1．由定义知：ab＝N⇔b＝(a0，a≠1，N0)．2．性质：(1)负数和零没有对数；(2)1的对数为；(3)底的对数为.3．恒等式：(1)＝，(a0，a≠1，N0)(2)logaab＝.logaN01Nb2021/3/214．运算法则：(1)loga(MN)＝；(2)logaMN＝；(3)logaNn＝；(4)loganN＝.(其中M0，N0，a0且a≠1，n∈N*)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaN1nlogaN2021/3/215．换底公式：logab＝logcblogca(c，a0且c，a≠1，b0)由换底公式得：logab＝1logba，loganbm＝logab.另外：log10N＝lgN，logeN＝lnN(e＝2.71828…)分别叫做常用对数和自然对数．mn2021/3/21二、对数函数的图象与性质定义y＝logax(a0，a≠1)(x0)图象2021/3/21定义y＝logax(a0，a≠1)(x0)(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0.(4)当a1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0a1时，在(0，＋∞)上是减函数．x10x1a1y0y0性质0a1y0y02021/3/21同底的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线y＝x对称，单调性相同．2021/3/21三、反函数的概念与性质1．若函数y＝f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y0，在A中都有唯一的元素x0与之对应，则函数y＝f(x)存在反函数，记为y＝f－1(x)，且y＝f－1(x)的定义域、值域分别为y＝f(x)的值域、定义域．指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数．2021/3/212．互为反函数的图象之间的关系(1)y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．(2)若点P(a，b)在y＝f－1(x)的图象上，则P′(b，a)在y＝f(x)的图象上．2021/3/21误区警示1．忽视底数a1与0a1时性质的区别及函数的定义域致误．如函数y＝log12(x2－3x＋2)的单调增区间为(－∞，1)；函数y＝loga(ax－1)(a0且a≠1)的定义域在a1时为(0，＋∞)；在0a1时为(－∞，0)．2021/3/212021/3/21一、转化的思想指数式ab＝N与对数式logaN＝b(a0且a≠1，N0)可以互化，在解决与指数式、对数式有关的问题时，利用指对互化(或等式两端取同底的对数)结合换底公式常能起到事半功倍的效果．2021/3/21二、数形结合的思想[例]不等式x2－logax0在x∈(0，12)时恒成立，则a的取值范围是()A．0a1B.116≤a1C．a1D．0a≤1162021/3/21解析：我们没有学过如何解答这类不等式，但我们熟知函数y＝x2与y＝logax的图象与性质，因此可在同一坐标系中，画出此二函数的图象借助图象进行讨论，在同一坐标系中画出y＝x2，x∈(0，12)与y＝logax的图象，2021/3/21由图象易得0a1，loga12≥122，即0a≤116.故选D.答案：D2021/3/21三、解题技巧1．注意对数恒等式、换底公式及对数运算法则的灵活运用及指对互化的应用．2．同底数的对数比较大小用单调性．同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式．要注意与中间量0、1的比较．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y轴(逆时针底数依次变小)，在直线x＝1右侧，底大图低(区分x轴上方与下方)．2021/3/212021/3/21[例1](1)已知函数f(x)＝lg1－x1＋x，若f(a)＝b，则f(－a)＝()A．bB．－bC.1bD．－1b对数的运算与性质2021/3/21(2)(2011·苏北四市二模)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.分析：(1)由1－a1＋a与1＋a1－a的倒数关系及对数运算法则logaNn＝nlogaN求解．(2)注意到lg2＋lg5＝1，可通过提取公因式产生lg2＋lg5求解．2021/3/21解析：(1)f(－a)＝lg1＋a1－a＝lg1－a1＋a－1＝－lg1－a1＋a＝－f(a)＝－b.故选B.(2)(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.答案：(1)B(2)12021/3/21(文)(2010·四川高考)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．42021/3/21解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2，故选C.答案：C2021/3/21(理)(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)．2021/3/21解析：(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.答案：(1)2(2)542021/3/21[例2]函数y＝loga|x＋b|(a0，且a≠1，ab＝1)的图象只可能是()对数函数的图象2021/3/21分析：观察图象知应从其对称性入手，由于ab＝1，a0，∴b0，可据此进行讨论．2021/3/21解析：∵a0且a≠1，ab＝1，∴b0.又y＝loga|x＋b|的图象关于x＝－b对称，故排除A、C.由B、D知－b－1，∴b1，∵ab＝1，∴0a1.故选B.答案：B2021/3/21(文)已知函数y＝loga(x＋b)的图象如图所示，则ab＝________.2021/3/21解析：由图象知logab＝1，logab－2＝0，得a＝b＝3，所以ab＝33＝27.答案：272021/3/21(理)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()2021/3/21A．0a－1b1B．0ba－11C．0b－1a1D．0a－1b－11解析：∵t＝2x＋b－1单调增，f(x)单调增，∴a1.由图知－1f(0)0，∴－1logab0，∴a－1b1，故选A.答案：A2021/3/21[例3]若0xy1，则()A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4yD.14x14y对数函数的单调性2021/3/21解析：∵0xy1，∴①由y＝3u为增函数知3x3y，排除A；②∵log3u在(0,1)内单调递增，∴log3xlog3y0，∴logx3logy3，∴B错．③由y＝log4u为增函数知log4xlog4y，∴C正确．④由y＝14u为减函数知14x14y，排除D.答案：C2021/3/21(文)设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．42021/3/21解析：因为a1，所以f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，最大值为loga2a，最小值为logaa.因此loga2a－logaa＝12，即loga2＝12，解得a＝4.答案：D2021/3/21(理)设a0且a≠1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a等于()A.2B．2或12C．22D．4或142021/3/21解析：当0a1时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.当a1时，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴loga2a－logaa＝12，解得a＝4，故选D.答案：D2021/3/21[例4]对于0a1，给出下列四个不等式①loga(1＋a)loga(1＋1a)；②loga(1＋a)loga(1＋1a)；③a1＋aa1＋1a；④a1＋aa1＋1a.其中成立的是()A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④比较大小2021/3/21解析：由于0a1⇒a1a⇒1＋a1＋1a，∴loga(1＋a)loga(1＋1a)，a1＋aa1＋1a.∴选D.答案：D2021/3/21(文)设a1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．nmpB．mpnC．mnpD．pmn2021/3/21解析：由a1得a2＋12aa－10，∴loga(a2＋1)loga(2a)loga(a－1)．答案：B2021/3/21(理)已知log2ax1＝logax2＝loga＋1x30,0a1，则x1、x2、x3的大小关系是()A．x3x2x1B．x2x1x3C．x1x3x2D．x2x3x12021/3/21解析：取a＝12满足条件，则log4x1＝log12x2＝log32x30，画出图象后知选D.答案：D2021/3/21[例5]已知函数f(x)＝2x＋1(x≥0)，记f(x)的反函数为f－1(x)，那么f－1(54)＝()A.54B．4C.14D．－2分析：利用函数f(x)及其反函数f－1(x)的关系求解．反函数的概念2021/3/21解析：设f－1(54)＝a，则f(a)＝54，∴2a＋1＝54，∴a＝－2.答案：D2021/3/21点评：如果点(a，b)在反函数y＝f－1(x)的图象上，则点(b，a)在原来函数的图象上；互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．2021/3/21(文)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)的值为()A．1B．－1C．2D．－22021/3/21解析：由反函数对称性知，y＝f(x)的反函数为y＝2－x－1，则设f(3)＝x，则f－1(x)＝3，即2－x－1＝3，得x＝－2.故选D.答案：D2021/3/21(理)(2010·重庆南开中学)函数y＝lg(x＋1)的反函数的图象为()2021/3/21解析：解法1：∵函数y＝lg(x＋1)的图象过点(0,0)，故反函数图象过点(0,0)，排除A、B、C，选D.解法2：函数y＝lg(x＋1)的反函数为y＝10x－1，故选D.答案：D2021/3/21[例6](文)(2011·浙江省“百校联盟”交流联考卷)已知0a1，loga(1－x)logax则()A．0x1B．x12C．0x12D.12＜x1对数方程与不等式2021/3/21分析：底数相同，真数不同，可利用对数函数y＝logax的单调性脱去对数符号转化为整式不等式求解．2021/3/21解析：∵0a1时，y＝logax为减函数，∴原不等式化为1－x0x01－xx，解得0x12.答案：C2021/3/21(理)设0a1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)0的x取值范围是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，loga3)D．(