“放缩法”技巧

1例谈“放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点,有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知*21().nnanN求证：*122311...().23nnaaannNaaa证明：111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f（x）=xx414，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）n+)(2121*1Nnn.证明：由f(n)=nn414=1-1111422nn得f（1）+f（2）+…+f（n）n22112211221121)(2121)2141211(41*11Nnnnnn.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一2变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例3、已知an=n，求证：∑nk=1ka2k＜3．证明：∑nk=12kka=∑nk=131k＜1＋∑nk=21(k－1)k(k＋1)＜１＋∑nk=22(k－1)(k＋1)(k＋1＋k－1)=2111(1)(1)nkkkkk=1＋∑nk=2(1(k－1)－1(k＋1))=1＋1＋22－1n－1(n＋1)＜2＋22＜3．本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例4、已知数列{}na满足2111,0,2nnaaa求证：1211().32nkkkkaaa证明22112131110,,,.2416nnaaaaaa2311,0,16kkaa当时1211111111()()().161632nnkkkkknkkaaaaaaa本题通过对因式2ka放大，而得到一个容易求和的式子11()nkkkaa，最终得出证明.5、逐项放大或缩小例5、设)1(433221nnan求证：2)1(2)1(2nannn证明：∵nnnn2)1(212)21()1(2nnnn3∴212)1(nnnn∴2)12(31321nann，∴2)1(2)1(2nannn本题利用21(1)2nnnn，对na中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例6、求证：2222111171234n证明：21111(1)1nnnnn2222211111111151171()().1232231424nnnn此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例7、已知54nan，证明：不等式51mnmnaaa对任何正整数mn，都成立.证明：要证51mnmnaaa，只要证512mnmnmnaaaaa.因为54mnamn，(54)(54)2520()16mnaamnmnmn，故只要证5(54)12520()162mnmnmnmnaa，即只要证2020372mnmnaa.因为2558mnmnaaaamn558(151529)mnmn202037mn，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由2mnmnaaaa放大即可.8、先适当组合,排序,再逐项比较或放缩例8、.已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n.4(1)证明：niAim＜miAin；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m证明：(1)对于1＜i≤m，且Aim=m·…·(m－i+1)，ninnnnnnmimmmmmmiimiim11A,11A同理，由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有mkmnkn，所以imiiniiimiinnmmnAA,AA即(2)由二项式定理有：(1+m)n=1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn，(1+n)m=1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，由(1)知miAin＞niAim(1＜i≤m＜n)，而Cim=!AC,!Aiiininim∴miCin＞niCim(1＜m＜n)∴m0C0n=n0C0n=1，mC1n=nC1m=m·n，m2C2n＞n2C2m，…，mmCmn＞nmCmm，mm+1C1mn＞0，…，mnCnn＞0，∴1+C1nm+C2nm2+…+Cnnmn＞1+C1mn+C2mn2+…+Cmmnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.5求证证明本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。求证证明说明：若本题从第二项起放大，则左边1+1-1n2,这使的证明失败.例14分析12112112111!1222111112!3!!111112221112,(2)11133knnnknk111112!3!!13n2222221111(1)111123111111123341211122471()1()()()1()Kkkkknnnn1()1,(0)1,2(1)(1),2(1)(1)(1)(1)2,1.2(1)(1)2,2(1)(1)24,2.(2)424211,fxfcbffbffffbaffcaffcafabcabc当x时，总有若不符合要求.(2)42()3(1)38,fabcabcabfab注意到f(1)=a+b+c若也不符合要求.又注意到f(-1)=a-b+c2(),1()1,(2)7.fxaxbxcfxf设当x时，总有求证：6浅谈用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。所谓放缩的技巧：即欲证BA，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使BCA，由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”。常用的放缩技巧还有：（1）若,AtA,AtA,0t（2）,n1nnn2,1n11n,1n),0n(nn)1n(n22n1)1n(n11n1n1).1nn(2n1nn21nn2)n1n(2),1n(n11n1)1n(n1（3）若,Rmba、、则.bmaba,mbaba（4）221211!n1!31!211.211n（5）.n12)n11n1()3121()211(1n131211222（6）11nn1n11n11n1n212n11n1或n212n11n1.21n2nn21n21n21（7）nnnn1n1n1n131211等等。用放缩法证明下列各题。例1求证：.133lg3lg(2)42())222211417,fabcabcabcabcabcabcabc若（符合要求.7证明：因为,)2ba(ab2所以左边,)299lg()233lg3lg(22[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg(2所以.133lg3lg例2（2000年海南理11）若,2n,Nn求证：.1)1n(log)1n(lognn证明：因为,11n,2n所以,0)1n(log,0)1n(lognn因为4)]1n([log]2)1n(log)1n(log[)1n(log)1n(log22n2nnnn［因为22n1n（放大），所以,nlog)1n(log2n2n又,2n所以xlogn是增函数］，所以14)n(log4)]1n([log22n22n，所以.1)1n(log)1n(lognn例3（2001年云南理1）求证：).Nn,1n)(2n(log)1n(log1nn证明：nlog)2n(log)1n(log)2n(log1n1nn1n左边右边（因为1alogblogba）21n21n1n]2)2n(nlog[]2nlog)2n(log[［又因为2)1n()2n(n（放大）］，所以,1]2)1n(log[]2)2n(nlog[221n21n所以).2n(log)1n(log1nn例4已知,0ba求证：.baba证明：因为0ba.bababa)ba(ba),(baba,0ba,ba2两边同乘放大例5求证：.2ba)2ba(222证明：因为4bab2a)2ba(222（因为22baab2）4bbaa2222（放8大）.2ba22所以.2ba)2ba(222例6（2000年湖南省会考）求证：当0a时，函数cbxaxy2的最小值是;a4bac42当0a时，函数cbxaxy2的最大值是.a4bac42证明：因为原函数配方得,a4bac4)a2bx(ay22又因为,0)a2bx(a0)a