(完整word版)有限元-2-弹性力学平面问题有限单元法(2.1三角形单元-2.2几个问题的讨论)资

《有限元》讲义1第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1三角形单元(triangularElement)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为:(式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(ui,vi,…umvm)为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123uuxyxy546(,)vvxyxy(2-1-2)a式中的6个待定常数α1,…,α6可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)mjimeddddmjjivuvuvuiiijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFFFF《有限元》讲义2确定。将3个结点坐标(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)代入上式得如下两组线性方程:123iiiuxy123jjjuxy(a)123mmmuxy和546iiivxy546jjjvxy(b)546mmmvxy利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1、2、3:11AA22AA33AA式中行列式:1iiijjjmmmuxyAuxyuxy2111iijjmmuyAuyuy3111iijjmmxuAxuxu2111iijjmmAxyAxyxyA为△ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出:11()2mmiijjauauauA21()2mmiijjbububuA（C）31()2mmiijjcucucuA式中:《有限元》讲义3mmijjaxyxymmjiiaxyxymijjiaxyxymijbyymjibyymijbyy（d）mijcxxmjicxxmjicxx为了书写方便，可将上式记为:mmijiaxyxymijbyy(,,)ijmmijcxx(,,)ijm表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m作轮换的方式便可得到(d)式。将(c)式代入2-1-2中,整理后可得:(,)(,)(,)mmiijjuNxyuNxyuNxyu同理:(,)(,)(,)mmiijjvNxyvNxyvNxyv（2-1-2）b式中:1()2iiiiNabxcyA(,,)ijm(2-1-3)将三角形单元的位移函数用矩阵表示：或：4)a-1-(2vuivuvum0j0i00m0j0),(mjiimNNNNNNvufiyx4)b-1-(2}]{[}{edNfvu《有限元》讲义4三、单元的应变和应力１、应变──几何矩阵[B]由弹性力学知,弹性力学平面问题的几何方程：xux；yvy；xyuvyx用矩阵表示00xyxyxuvyyx或，Hf(2-1-5)[H]称为微分符矩阵,又称为微分算子,“[H]{f}”实际上不是一般的矩阵乘,可以称为微分符矩阵[H]作用在{f}上,其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按[H]对{f}求导。将2-1-4式的{f}=[N]{d}代入:{ε}=[H][N]{d}=[B]{d}2-1-6式中:(2-1-7)0000000000000012mijmijmijmijmmiijjxNNNBHNyNNNyxbbbccccbcbcbA称为几何矩阵，对于上述三角形单元，[B]是常量矩阵,因此常把这种三角形单元称为常应变单元２、应力矩阵[S]由弹性力学知,由应力求应变的物理方程是:1xxyE1yyxE2(1)xyxyxyEG《有限元》讲义5由上式解出应力,得到由应变表示应力的物理方程:21xyxE21yxyE2121xyxyE用矩阵表示:xyxyD21010(1)0021DE2-1-8称为弹性矩阵。将2-1-6式{ε}=[B]{d}代入上式得:eeDDBdSd2-1-9式中:221111111222222mmiijjmmiijjmmiijjSDBbcbcbcEbcbcbcAcbcbcb2-1-10上式称为应力矩阵,是结点位移与应力之间的关系矩阵,在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵(常应力单元)。四、单元刚度矩阵有了几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]后,我们便可将其代入在§1-3中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式:TvKBDBdv对于平面问题，积分dzt，是单元的厚度，并假定t在单元内不变化(常数)，所以三角形单元的单刚:《有限元》讲义6TKtBDBdxdy积分式内的两个矩阵都是常量,矩阵乘后,积分得三角形单元的单元刚度矩阵：iiijimjijjjmmmmimjKKKKKKKKKK2-1-11子块:21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsbbccbccbEtKAcbbcccbb(r,s=i,j,m)上式常称为各向同性常应变单刚(stiffnessmatrixforisotropicconstantstraintriangleinplanestress)上面的[K]是在图1及2-1-1式的位移排列顺序和(2-1-2)a下导得的,对此作些改变,便会获得不同的单元刚度矩阵形式,如将位移列阵的排列改为:{d}=[uiujumvivjvm]T。（可自行推导,此种单元刚度矩阵的显式可参见《FiniteElementAnalysisFundamentals》）作业3：1．求形函数Ni(x,y)在三角形形心（xc,yc）上的函数值。2．设图中i点有水平位移ui=1，试由单元刚度方程写出各链杆的反力；并证明各水平、竖向反力之和为0。3．求图示单元1、2的单元刚度矩阵和应力矩阵。（结论：将单元逆时针转动180度，则单刚无影响而应力矩阵反号）《有限元》讲义72.2三角形单元中几个问题的讨论一、形函数的物理意义由(2-1-4)a000(,)000iiemijjmjijmmuvNNNuufxyNdvvNNNuv可以看出,当u=1,其它5个位移分量为0时,u(x,y)=Ni(x,y),或当vi=1其余为0时v(x,y)=Ni(x,y)(如图所示)。故形函数Ni(x,y)表示当结点i发生单位位移时,在单元内部产生的位移分布状态,函数Nj,Nm亦具有类似的性质,因此,Ni,Nj,Nm称为位移的形状(态)函数,简称形函数,[N]即称形函数矩阵（shapefunction）。二、形函数的几何意义在单元分析中，很重要的一步是构造位移函数，得出以形函数和结点位移乘积表示的单元位移场。000000iiemijjmjijmmuvNNNufNdvNNNuv其中形函数:12iiiiNabxcyA,,ijm而mijbyyxmijcx将其代回:jmmjiyxyxa《有限元》讲义81()()211121mmmmijijjjjmmNxyxyyyxxxyAxyxyAxy若从单元内任意点p(x,y)向各顶点引连线,将其分成三个小三角形,则上式中的行列式恰好是小三角形pjm面积的2倍即:1211221ixyAAiNxyijjAAAxymm同理可得:jjANAmmANA由此可得如下结论(三角形单元的几何性质)1.任意一点形函数之和等于1,（Ni+Nj+Nm=1）2.形函数为≥0,且≤1的值,0≤(Ni,Nj,Nm)≤13.顶点坐标上的形函数值:当(x,y)坐标取在i点时,Ni=1,Nj=Nm=0当(x,y)坐标取在j点时,Ni=1,Nj=1,Nm=0当(x,y)坐标取在m点时,Ni=Nj=0,Nm=1因此:Ni,Nj,Nm又称为面积坐标面积坐标的概念在讲叙六结点三角形单元时将得到应用。《有限元》讲义9三、有限元的收敛性解的收敛性也可理解为一个问题的解的精度，较粗的分，影响一个实际问题的解的精度可分成三个方面：实际物理问题→①理想化力学模型→②有限元求解方法（解法）→③数字截断。此处仅讨论解法。绪论中提到，有限元作为一种数值方法可以认为是李兹法（弹性力学解）的一种特殊形式，不同之处在于有限元法的形函数（在弹力称试探函数）是定义于单元（子域）而不是全域。李兹法的收敛条件是要求试函数具有完全性和连续性。那么它在有限元法中又是如何具体体现的？可从两方面：严格的数学论证（用变分原理，可参考王勖成书pp60-63）；物理方面，也就是单元模型问题（三角形单元的位移摸式）。１、位移模式的收敛性条件①完备性一个有限元解的必要条件是要求该单元的位移函数必须能表示刚体位移和常应变状态。例如对于上述平面问题的三角形单元，其位移函数应能保证单元能够在不产生应变的前提下，在其平面内的任意方向上平移和转动，如图示悬臂深梁即可解释上述之理由。现考察上述三角形单元位移函数对刚体位移的描述。设单元产生刚体位移，原点的水平位移U0；竖向位移V0；转角φ0，则任意点位移：00(,)(,)uxyuyvxyvx00φφ显然它包含在我们所设的位移模式中。对于常应变问题，可以这样理解：当有限元网络不断细分，每个单元的尺度都《有限元》讲义10趋于很小的极限尺寸时，每个单元的应变即应趋于常数，结构内部任何复杂变化都可以被近似。由于三角形单元本身就是常应变单元，故它自然满足。②连续性又称为协调性要求。是指变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的，即相邻单元之间既不发生“间隙”又不“重叠”。从能量原理上讲，如果单元在交界面上的位移不连续，将在交界面引起无限大的应变，而我们在建立能量方程（总势能表达式）或泛函数公式时没有考虑这种情况，因此，有限元解就不可能（难于）收敛于真正解。对于上述三角形单元，由于位移函数是线性的，即单元中的一条直线变形后仍为直线，而相邻单元在两个公共点上的位移又应是相等的（位移谐调），所以条件②得到满足。从而保证了变形后相邻单元在公共边界处的位移（变形）是连续的条件２得不到满足时