三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明1.O是123PPP的重心1230OPOPOP(其中,,abc是123PPP三边)证明：充分性:1230OPOPOPO是123PPP的重心若1230OPOPOP，则123OPOPOP，以1OP，2OP为邻边作平行四边形132'OPPP，设3OP与12PP交于点3P，则3P为12PP的中点，有'123OPOPOP，得'33OPOP，即'33,,,OPPP四点共线，故3PP为123PPP的中线，同理，12,POPO亦为123PPP的中线，所以，O为的重心。*△ABC中ACAB一定过BC的中点，通过△ABC的重心1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，*1()3PGPAPBPCG为△ABC的重心(P是平面上任意点).证明PGPAAGPBBGPCCG3()()PGAGBGCGPAPBPC∵G是△ABC的重心∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPC由此可得1()3PGPAPBPC.(反之亦然(证略))*若O是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSSP12PP3OPABC1,2ADABACABC2.在中，给出等于已知AD是中BC边的中线;2.00APBCPABCBPAC为的垂心*点O是123PPP的垂心122331OPOPOPOPOPOP证明：O是123PPP的垂心312OPPP,31232132310()0OPPPOPOPOPOPOPOPOP同理123OPPP3112OPOPOPOP故当且仅当122331OPOPOPOPOPOP.*O是△ABC所在平面内一点222222ACOBBAOCBCOA则O是△ABC的垂心证明：由，得，所以。同理可证。容易得到由以上结论知O为△ABC的垂心。*设,0，则向量)coscos(CACACBABAB必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心,0,coscosCACACBABABAP*若H是△ABC(非直角三角形)的垂心，则S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC故tanA·HA+tanB·HB+tanC·HC=0()||cos||cos||cos||cosABACBCABBCACBCABBACCABBACC||||cos()||||cos||||0||cos||cosBCABBBCACCBCBCABBACC()||cos||cosABACBCABBACC3.点O是123PPP的外心23OPOPOP．证明：O是△ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|(或OA2=OB2=OC2)(点O到三边距离相等)(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0(O为三边垂直平分线的交点)*若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。故点O为△ABC的外心。*DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且DPPBDPPCPABCEPPCEPPA为的外心若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=0证明：设O点在ABC内部，由向量基本定理，有RrnmOCrOBnOAm,,0，则rnmSSSAOBCOABOC::::设：OFOCrOEOBnODOAm,,，则点O为△DEF的重心，又EOFBOCSnrS1，DOFAOCSmrS1，DOEAOBSmnS1，∴rnmSSSAOBCOABOC::::若O是△ABC的外心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin∠2A：sin∠2B：sin∠2C故sin∠2A·OA+sin∠2B·OB+sin∠2C·OC=0ABCDO4.O是123PPP的内心1230aOPbOPcOP。(其中,,abc是123PPP三边)证明：充分性：1230aOPbOPcOPO是123PPP的内心1231112113()()aOPbOPcOPaOPbOPPPcOPPP=11213()0abcOPbPPcPP所以13121()PPPPbcPOabccb，而12PPc，13PPb分别是12PP，13PP方向上的单位向量，所以向量1312PPPPcb平分213PPP，即1PO平分213PPP，同理2PO平分123PPP，得到点O是123PPP的内心。*O为ABC的内心0aOAbOBcOC.内心（角平分线交点）证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，同理：()BCBABOuac11(()[()]())BCBAuABAOOBuABACaccacABACubcab11()10ucacuab得aub代入11()1ucac解得cbabc，cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba，0OCcOBbOAa*设,0，则向量)(ACACABAB必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;*设,0，则向量)(ACACABAB必平分∠BAC的邻补角*(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，*O是△ABC的内心充要条件是()()()0||||||||||||ABACBABCCACBOAOBOCABACBABCCACB*若O是△ABC的内心，则S△BOC：S△AOC：S△AOB=a：b：c故a·OA+b·OB+c·OC=0或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0;*设O为△ABC所在平面内任意一点，I为△ABC的内心，*cbaOCcOBbOAaOI内心I（aXA+bXB+cXCa+b+c，ayA+byB+cyCa+b+c）证明：由I是ABC的内心0aIAbIBcIC。(其中,,abc是ABC三边)（见内心的充要条件的证明）OIOAAIOBBIOCCIabcOIaOAAIbOBBIcOCCIaOAbOBcOCaAIbBIcCIaOAbOBcOCcbaOCcOBbOAaOI,∴I（aXA+bXB+cXCa+b+c，ayA+byB+cyCa+b+c）.O是123PPP的内心1230aOPbOPcOP。(其中,,abc是123PPP三边)5.若o为三角形的旁心，则aOA=bOB+cOC(abc是三边)*已知O为△ABC的外心，求证：sinsinsin0OABOCOBAOCOCAOB．分析构造坐标系证明．如图３，以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上方．2012AOBSxy△，直线BC的方程是32323()0yxxxyxy，由于点A与点O必在直线BC的同侧，且230xy，因此有033020230xyxyxyxy，得302303201()2BOCSxyxyxyxy△．直线AC的方程是330yxxy，由于点(1,0)与点O必在直线AC的同侧，且33100yx，因此有03300xyxy，得03301()2AOCSxyxy△．于是，容易验证，0BOCAOCAOBOASOBSOCS△△△，又1||||sin2BOCSOBOCBOC△，1||||sin2BOASOBOAAOB△，1||||sin2AOCSOAOCAOC△，又||||||OAOBOC，则所证成立．yA00(,)Oxyx22(,)Bxy图３33(,)Cxy与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。问题：设点O在ABC内部，且有03OCOBOA，则BOC与AOC的面积的比值是____.分析：∵03OCOBOA设ODOB3，则0OCODOA，则点O为ADC的重心.∴ACDAODCOADOCSSSS31.而AOCCODBOCSSS3131，∴31:COABOCSS.探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。结论：设O点在ABC内部，若RrnmOCrOBnOAm,,0，则rnmSSSAOBCOABOC::::证明：已知O点在ABC内部，且RrnmOCrOBnOAm,,0设：OFOCrOEOBnODOAm,,，则点O为△DEF的重心，又EOFBOCSnrS1，DOFAOCSmrS1，DOEAOBSmnS1，∴rnmSSSAOBCOABOC::::说明:此结论说明当点O在ABC内部时，点O把ABC所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点O在ABC内部，且40OAOBOC，则ABC的面积与OBC的面积之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2分析：由上述结论易得：1:1:4::AOBCOABOCSSS，所以2:34:6:OBCABCSS，故选D当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设O点在ABC内部，且角CBA,,所对应的边分别为cba,,结论1：若O为ABC重心，则0OCOBOA分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC的面积三等分.结论2：O为ABC内心，则0OCcOBbOAa分析：内心在三角形的内部，且易证S△BOC：S△COA：S△AOB=cba::结论3：O为ABC的外心，则02sin2sin2sinOCCOBBOAA分析：易证S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.由结论3及结论：O为ABC的外心，H为ABC的垂心，则OCOBOAOH可得结论4。结论4：若H为ABC垂心，则HAACB2sin2sin2sinHBBCA2sin2sin2sin02sin2sin2sinHCCBA即0coscossincoscossincoscossinHCBACHBCABHACBA证明：∵对任意ABC有OCOBOAOH，其中O为外心，H为垂心，∴OCOBHA，OCOAHBOAOBHC则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数zyx,,，使得0HCzHByHAx，即0OCyxOBxzOAzy，由结论3得：02sin2sin2sinOCCOBBOAA所以有：CyxBxzAzy2sin2sin2sin，