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龙源期刊网《定积分在几何学上的应用——旋转体的体积》课程教学设计作者：姬志飞来源：《学校教育研究》2017年第14期一、教学背景学员己经学习了如何用定积分的元素法求解平面图形的面积，掌握了元素法解决问题的一般技巧。二、教学目的知识目标：理解微元法建立旋转体体积公式的推导过程。能力目标：引导学员学以致用，使学员学会用定积分的元素法求解一些旋转体的体积。三、教学分析旋转体的体积是定积分应用中一个重要的知识点，它对巩固元素法的理解和运用起到了重要的作用。该内容的学习过程渗透了抽象思维，对学员的空间想象能力、数形结合能力、类比划归能力提出了较高的要求，对培养学员的量变到质变的哲学思想有比较形象的数学描述。针对教学内容的复杂性、抽象性，教学中依托信息化教学软件，充分利用信息基础，拓展教学方法，从而达到复杂问题的简单化，抽象问题的形象化。四、教学内容1.旋转体的概念2.旋转体的体积求解方法五、教学重难点旋转体的体积求解六、教学理念龙源期刊网课程教学充分利用信息技术、调用数字资源、依托信息环境展开。把flash动画、Matlab仿真、3DMax、mathcad特效等多种信息技术辅助于课堂教学，构建信息化网络环境，达到复杂数学问题的简单化、抽象数学问题的形象化。课程展开，突显学员自主探究学习能力的提升，学员信息素养的提高，达到激发学员学习兴趣，优化了教学过程和教学效果之目的。七、教学方法结合“问题导学”的基本方法，从实际出发结合类比教学法从可视化的角度“提出问题——知识讲解——回归问题”，讨论微元法求旋转体体积。八、教学时间约为1课时九、教学步骤1.引入+复习微元法通过日常生活实例引入旋转体，给学员直观感受，然后给出旋转体的数学定义。旋转体是由一个封闭的平面图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而生成的几何体。玩的篮球、足球都是半圆绕直径旋转得来的，它们的体积就是圆的体积比较容易计算。同样玩的游泳圈，是圆绕某条直线旋转一周得到的，可是什么是旋转体呢？教员给出肯定和激励，并顺势给出旋转体的定义。定义：一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周，所成的立体图形叫旋转体，这条直线叫做旋转轴。如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。随后动画演示旋转体的形成，在学员兴趣浓厚的同时提出问题：“怎么样求解旋转体的体积？”在此基础上回忆要用工具“元素法”。2.旋转体的体积教员借助多媒体播放旋转体旋转的动画，以加深对旋转体体积的理解。推出微元法计算近似小圆柱的公式，从而结合定积分思想给出旋转体体积的表达式。对于由任意的连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的一般旋转体，因函数在区间上的变化，故不能利用圆柱体体积公式直接计算。下面我们应用定积分的思想“分割、代替、求和、取极限”（微元法）进行计算。现将这一过程详述如下：在讲解中，借助matlab绘图、3Dmax仿真动画，加深对旋转体体积的理解。推出微元法计算近似小圆柱的公式，从而结合定积分思想给出旋转体体积的表达式。龙源期刊网个例题巩固所讲知识。课后由简单函数绕轴和绕轴旋转所求旋转之后的体积，绕轴旋转用柱壳法解决和对积分的方法解决异曲同工之效，从而也从侧面印证了柱壳法的便捷。这部分内容，学员可参考校园网络，寻求资源。4.总结和反馈应用微元法将实际问题转化为定积分的计算。具体实施步骤为：分割、代替、求和、取极限。最后求得旋转体体积公式。体会整体——局部——整体的过程。为了提高知识的应用性并作为反馈思考留给学员一道关于求解一个不规则图形绕坐标轴以外的直线旋转形成的旋转体的体积的问题，加深对知识的理解，并拓展学员的思维。十、课程教学保障网络多媒体软硬件系统、黑板。十一、教学后记恩格斯指出：“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学——其中最主要的部分是微积分——本质上不外是辨证法在数学方面的应用。定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则和否定之否定法则。从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辨证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高级的发展。龙源期刊网