高等数学教学教案§7-1--微分方程的基本概念-§7-2--可分离变量的微分方程

§71微分方程的基本概念§72可分离变量的微分方程授课次序43教学基本指标教学课题§71微分方程的基本概念§122可分离变量的微分方程教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点微分方程与可分离变量的方程教学难点可分离变量的方程的解法参考教材同济大学编《高等数学（第6版）》自编教材《高等数学习题课教程》作业布置《高等数学》标准化作业双语教学导数：derivative；微分：differentialcalculus；微分方程：differentialequation；阶：order；常微分方程：ordinarydifferentialequation；偏微分方程：partialdifferentialequation；解：solution；通解：generalsolution；特解：specialsolution；初始条件：initialcondition课堂教学目标1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念2．掌握可分离变量的方程的解法教学过程1．微分方程的基本概念（35min）；2．可分离变量的方程的解法（55min）教学基本内容第七章微分方程§71微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1一曲线通过点(12)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3yx2y4xy3x2y(4)4y10y12y5ysin2xy(n)10备注栏一般n阶微分方程F(xyyy(n))0y(n)f(xyyy(n1))微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x)(x)(n)(x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n))0在区间I上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如xx0时yy0yy0一般写成00yyxx00yyxx特解确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程yf(xy)满足初始条件00yyxx的解的问题记为00),(yyyxfyxx积分曲线微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例3验证函数xC1cosktC2sinkt是微分方程0222xkdtxd的解例4已知函数xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程0222xkdtxd的通解求满足初始条件x|t0Ax|t00的特解§72可分离变量的微分方程观察与分析1求微分方程y2x的通解为此把方程两边积分得yx2C一般地方程yf(x)的通解为Cdxxfy)((此处积分后不再加任意常数)2求微分方程y2xy2的通解因为y是未知的所以积分dxxy22无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为xdxdyy212两边积分得Cxy21或Cxy21可以验证函数Cxy21是原方程的通解一般地如果一阶微分方程y(x,y)能写成g(y)dyf(x)dx形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程G(y)F(x)C由该方程所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(xy)dxQ(xy)dy0在这种方程中变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数则当Q(x,y)0时有),(),(yxQyxPdxdy若把y看作自变量、x看作未知函数则当P(x,y)0时有),(),(yxPyxQdydx可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式就是说能把微分方程写成一端只含y的函数和dy另一端只含x的函数和dx那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy是y1dy2xdx(2)3x25xy0是dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0不是(4)y1xy2xy2是y(1x)(1y2)(5)y10xy是10ydy10xdx(6)xyyxy不是可分离变量的微分方程的解法第一步分离变量将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式第二步两端积分dxxfdyyg)()(设积分后得G(y)F(x)C第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y)G(y)F(x)Cy(x)或x(y)都是方程的通解其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解例1求微分方程xydxdy2的通解例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律例3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系例4求微分方程221xyyxdxdy的通解例4有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律解由水力学知道水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算ghSdtdVQ262.0其中062为流量系数S为孔口横截面面积g为重力加速度现在孔口横截面面积S1cm2故ghdtdV262.0或dtghdV262.0另一方面设在微小时间间隔[ttdt]内水面高度由h降至hdh(dh0)则又可得到dVr2dh其中r是时刻t的水面半径右端置负号是由于dh0而dV0的缘故又因222200)100(100hhhr所以dV(200hh2)dh通过比较得到dhhhdtgh)200(262.02这就是未知函数hh(t)应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数hh(t)还应满足下列初始条件h|t0100将方程dhhhdtgh)200(262.02分离变量后得dhhhgdt)200(262.02321两端积分得dhhhgt)200(262.02321即Chhgt)523400(262.02523其中C是任意常数由初始条件得Cgt)100521003400(262.025235101514262.0)52000003400000(262.0ggC因此)310107(262.0252335hhgt上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间t之间的函数关系教学后记