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主讲人对外经贸大学附中沈海英函数与方程的思想第一课：函数思想的应用王秀彩特级教师工作室函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支.函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力.因此，函数思想一直是数学高考常考的热点.函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.函数思想的应用：2．转换函数关系；3．建立函数关系.1．显化函数关系；1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知(2,5)A，(4,1)B，若点(,)Pxy在线段AB上，则2xy的最大值为（）A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由线段AB所在直线方程可得x与y的函数关系，转化为函数求值域的问题。【解析】由题意得，线段AB所在直线方程:511424yx292,4yxx，，由函数单调性，22(29)497xyxxx，当=4x时2xy最大值为7，故选C.【例1】已知(2,5)A，(4,1)B，若点(,)Pxy在线段AB上，则2xy的最大值为（）A.−1B.3C.7D.8【小结】1.本题考查求函数值域的常用方法：单调性法；2.对于二元函数的值域问题，可以将二元函数化为一元函数求值域；3.解析几何是用代数方法解决几何问题，方程都具有隐含的函数关系，在解决解析几何问题中，有意识凸显其函数关系、从而用函数思想或函数方法研究、解决问题.在函数综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，通常灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，即参变分离，揭示它与其它变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解.2．转换函数关系【例2】已知函数2124()lg1xxafxaa，其中a为常数，若当,1x时，()fx有意义，求实数a的取值范围.【分析】参数a隐含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，进行参变分离，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元x的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题很容易解决.【解析】由题意得，212401xxaaa，且22131024aaa，1240xxa，即1142xxa.当,1x时，14xy和12xy都是减函数，∴1142xxy在,1x上是增函数，max113424xx，∴34a，故a的取值范围为3,4.【小结】发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解.本题主客换位后，利用新建函数1142xxy的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围，此法也叫参变分离法.3．建立函数关系对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点.【例3】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【分析】本题是函数实际应用问题，“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，由图像判断燃油效率随着速度的变化该如何变化.【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图像最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.【小结】1.函数应用问题考虑实际意义；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对函数图像的理解.同学们，再见！