2021中考数学复习第2编专题突破篇题型7代数几何综合题精练试题

2021中考数学复习第2编专题突破篇题型7代数几何综合题精练试题题型七代数几何综合题1．(2021保康适应性试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝12x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－32且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)①直接写出点A，B的坐标；②直接写出抛物线的解析式；(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC，求△APC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)①A(－4，0)，B(1，0)；②y＝－12x2－32x＋2；(2)如答图①，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，设P?????m，－12m2－32m＋2.∴Q?????m，12m＋2，∴PQ＝?????－12m2－32m＋2－?????12m＋2＝－12m2－2m.∵S△APC＝S△PAQ＋S△CPQ＝12×PQ×|xA－xC|＝12×?????－12m2－2m×4＝－m2－4m＝－(m＋2)2＋4，∴当m＝－2时，△PAC的面积有最大值是4，此时P(－2，3)；(3)在Rt△AOC中，tan∠CAO＝12.在Rt△BOC中，tan∠BCO＝12.∴∠CAO＝∠BCO.∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BCO＋∠ACO＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO,如答图②，假设有4种情况，M点的坐标分别为M1，M2，M3，M4.①当M点与C点重合，即M1(0，2)时，△M1AN∽△BAC;②根据抛物线的对称性知，当M2(－3，2)时，△M2AN∽△ABC；③当点M3在第四象限时，设M?????n，－12n2－32n＋2，则N3(n，0)，∴M3N3＝12n2＋32n－2，AN3＝n＋4，当M3N3∶AN3＝1∶2时，M3N3＝12AN3，即12n2＋32n－2＝12(n＋4)，整理，得n2＋2n－8＝0，解得n1＝－4(舍)，n2＝2，∴M3(2，－3)；当M4N4∶AN＝2∶1时，M4N4＝2AN4，即12n2＋32n－2＝2(n＋4)，整理，得n2－n－20＝0，解得：n1＝－4(舍)，n2＝5，∴M4(5，－18)．综上所述：存在M1(0，2)，M2(－3，2)，M3(2，－3)，M4(5，18)，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC相似.2．(2021营口中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx－2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(－2，0)，点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在第一象限内，当OD＝4PE时，求四边形POBE的面积；