2021届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：指数与指数函数要点

2021届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：指数与指数函数要点第六节指数与指数函数[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．根式(1)根式的概念：(2)两个重要公式：①nan＝???a，n为奇数，|a|＝?????a(a≥0)，－a(a＜0)，n为偶数；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．[探究]1.nan＝a成立的条件是什么？提示：当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.2．有理数指数幂(1)幂的有关概念：①正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：amn-＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的性质：①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质[探究]2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．函数y＝ax，y＝a|x|，y＝|ax|(a0，a≠1)，y＝????1ax之间有何关系？提示：y＝ax与y＝|ax|是同一个函数的不同表现形式；函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同；y＝ax与y＝????1ax的图象关于y轴对称．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为()A．－9B．－10C．9D．7解析：选D[(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.2．化简a3b23ab2(a14b12)43ba(a0，b0)的结果是()A.baB．abC．a2bD.ab解析：选D原式＝a3b2a13b23ab2????ba13＝11082332733abab?????＝54332733·abab＝ab－1＝ab.3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()解析：选B∵f(x)＝?????2x－1，x≥1，????12x－1，x∴根据分段函数即可画出函数图象．4．(教材习题改编)函数y＝1－????12x的定义域为________．解析：要使函数有意义，需1－????12x≥0，即????12x≤1，∴x≥0，即定义域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．若函数f(x)＝ax－1(a0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.解析：当a1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±3.又∵a1，∴a＝3.当03[例1]求值与化简：(1)????3213-×????－760＋814×42＋(32×3)6－????－2323＝________；(2)a35b2·35b34a3＝________；÷?????1－23ba·3a＝________.[自主解答](1)原式＝????2313×1＋234×214＋????213×3126－????2313＝2＋4×27＝110.(2)a35b2·35b34a3＝a33212-·b321510-＝a54＝a4a.(3)令a13＝m，b13＝n，则原式＝m4－8mn3m2＋2mn＋4n2÷????1－2nm·m＝m(m3－8n3)m2＋2mn＋4n2·m2m－2n＝m3(m－2n)(m2＋2mn＋4n2)(m2＋2mn＋4n2)(m－2n)＝m3＝a.[答案](1)110(2)a4a(3)a———————————————————指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．1．化简下列各式(其中各字母均为正数)．121121332·b---??(2)56a13·b－2·????－3a12-b－1÷????4a23·b－312.解：(1)原式＝111133221566·ababab--＝＝a111326---·b115236+-＝1a.(2)原式＝－52a16-b－3÷????4a23·b－312＝－54a16-·b－3÷????a13b32-＝－54a12-·b32-.＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.[例2](1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中ab)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．[自主解答](1)由已知并结合图象可知0对于函数g(x)＝ax＋b，它一定是单调递减的．且当x＝0时g(0)＝a0＋b＝1＋b(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．[答案](1)A(2)[－1,1]若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．———————————————————指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，????－1，1a.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.2．(2021·四川高考)函数y＝ax－a(a0，且a≠1)的图象可能是()解析：选C当x＝1时，y＝a1－a＝0，∴函数y＝ax－a的图象过定点(1,0)，结合图象可知选C.3．(2021·盐城模拟)已知过点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y＝9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐标是________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得，C(x1，y2)，所以有?????y1＝3x1，y2＝3x2，y2＝9x1.又A，O，B三点共线，所以kAO＝kBO，即y1x1＝y2x2，代入可得，3x13x2＝x1x2＝12，即3x132x1＝12，所以x1＝log32.答案：log32[例3]已知函数f(x)＝????13ax2－4x＋3(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．[自主解答](1)当a＝－1时，f(x)＝????13－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝????13t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝????13h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有???a0，3a－4a＝－1，解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y＝????13h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0(因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)．故a的值为0.———————————————————利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．4．设a0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a0且a≠1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．①当0x∈[－1,1]，t＝ax∈????a，1a，此时f(t)在????a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f????1a＝????1a＋12－2＝14.所以????1a＋12＝16，即a＝－15或a＝13.又因为a0，所以a＝13.②当a1时，x∈[－1,1]，t＝ax∈????1a，a，此时f(t)在????1a，a上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．综上得a＝13或a＝3.1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个应用——指数函数单调性的应用(1)比较指数式的大小若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助1,0等中间量进行比较．(2)解指数不等式形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式．3个注意——指数式的化简及指数函数的应用需注意的问题(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.创新交汇—指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例](2021·浙江高考)设a＞0，b＞0()A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜bC．若2a－2a＝2b－3b，则a＞bD．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b[解析]∵a0，b0，∴2a＋2a＝2b＋3b2b＋2b.令f(x)＝2x＋2x(x0)，则函数f(x)为单调增函数．∴ab.[答案]A[名师点评]1．本题有以下创新点(1)命题方式的创新：本题没有直接给出指数函数模型，而是通过观察题目特点构造相应的函数关系式．(2)考查内容的创新：本题将指数函数、一次函数的单调性与放缩法、导数法的应用巧妙结合，考查了考生观察分析问题的能力及转化与化归的数学思想．2．解决本题的关键有以下两点(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题．(2)构造函数，并利用其单调性解决问题．[变式训练]1．若函数f(x)＝???1x，x?13x，x≥0，则不等式－13≤f(x)≤13的解集为()A．[－1,2)∪[3，＋∞)B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.????32，＋∞D．(1，3]∪[3，＋∞)解析：选B函数f(x)＝???1x，x?13x，x≥0和函数g(x)＝±13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x3的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fk(x)＝?????f(x)，f(x)≤K，K，f(x)K.取函数f(x)＝a－|