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2021届高三数学下册复习检测试题82021高考数学萃取精华30套（8）1.山东三模20.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为)2,0(,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点),0(mP，与椭圆C交于相异两点A、B，且2=．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）求m的取值范围．20.解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为)0(12222=+babxay，由题意知2=a，cb=，又222cba+=则2=b，所以椭圆方程为12422=+xy--------------------------------------4分（Ⅱ）设),(),,(2211yxByxA，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为mkxy+=，与椭圆方程联立即???+==+mkxyxy4222，则0)4)(2(4)2(,042)2(222222---=?=-+++mkmkmmkxxk由韦达定理知???????+-=?+-=+22212212422kmxxkmkxx；----------------------------------------6分又PBAP2=，即有),(2),(2211myxymx-=--2222222122121)22(22422kmkkmxxxxxxxx+-=+-∴???-=-=+∴=-∴--------------------------------------------8分整理得22228)49(mkm-=-又0492=-m时不成立，所以04928222--=mmk---------------------------10分得49422()32,2(?--.-------------------------------------12分21.已知关于x函数xaxxgln2)(+=(R∈a),)()(2xgxxf+=，（Ⅰ）试讨论函数)(xg的单调区间；（Ⅱ）若,0a试证)(xf在区间)1,0(内有极值.21.解：（Ⅰ）由题意)(xg的定义域为),0(+∞xaxxgln2)(+=22'22)(xaxxaxxg-=+-=∴（i）若0≤a，则0)('x2=，)2,0(ax∈时，0)('(+∞∈ax时，0)('xg，所以)2,0(a为其单调递减区间；),2(+∞a为其单调递增区间；----------6分（Ⅱ）)()(2xgxxf+=所以)(xg的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(xaxxxaxxxgxxf-+=-+=+=令),0[,22)(3+∞∈-+=xaxxxh因为0a，则06)(2'+=axxh，所以)(xh为),0[+∞上的单调递增函数，又0)1(,02)0(=是)('xf的变号零点，所以)(xf在区间)1,0(内有极值.--------------------12分22.已知数列}{na满足：)(1*NnaSnn∈-=，其中nS为数列}{na的前n项和.（Ⅰ）试求}{na的通项公式；（Ⅱ）若数列}{nb满足：)(*Nnanbnn∈=，试求}{nb的前n项和公式nT；（III）设11111nnncaa+=++-，数列}{nc的前n项和为nP，求证：212-nPn．22.解：（Ⅰ）nnaS-=1①111++-=∴nnaS②②-①得nnnaaa+-=++11)(,21*1Nnaann∈=∴+又1=n时，111aa-=211=∴a)(,)21()21(21*1Nnannn∈=?=∴---------------------------------4分（Ⅱ）)(,2*Nnnanbnnn∈?==nnnT223222132?++?+?+?=∴③143222322212+?++?+?+?=∴nnnT④③-④得1132221)21(222222++?---=?-++++=-nnnnnnnT整理得：*1,22)1(NnnTnn∈+-=+-------------------------8分（III）)121121(212111*********)21(11)21(111111111111--+-=-+++-=-++=-++=-++=++++++nnnnnnnnnnnnnaac----------------------------------------------------10分又1112121112121121122212222)12)(12()12(12121121+++++++-+-=-++--=--+nnnnnnnnnnnnnnn-----------------------------------------------------------12分*1214322,21221212211)211(212)21212121(22NnnnnnPnnnn∈-+-=---=+++-∴++-----------------------------------------------------------14分2.江苏一模17．（本小题满分15分）设等差数列{}na的前n项和为nS，且5133349aaS+==，．（1）求数列{}na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列{}nb的通项公式为nnnabat=+，问:是否存在正整数t，使得12mbbb，，(3)mm≥∈N，成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}na的公差为d.由已知得51323439aaa+=??=?，，……………………2分即118173adad+=??+=?，，解得112.ad=??=?，……………………4分.故221nnanSn=-=，.………6分（2）由（1）知2121nnbnt-=-+.要使12mbbb，，成等差数列，必须212mbbb=+，即312123121mttmt-?=+++-+，……8分.整理得431mt=+-，……………11分因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.当2t=时，7m=；当3t=时，5m=；当5t=时，4m=.故存在正整数t，使得12mbbb，，成等差数列.…………………15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.（1）设PBOα∠=，把y表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在RtAOB?中，6AB=，所以OB=OA=.AP所以πABC∠=由题意知π0α≤≤.……………………2分所以点P到A、B、C的距离之和为2sin22)cosyPBPAααα-=+==.……………………6分故所求函数关系式为()2sinπcos4yααα-=≤≤.……………………7分（2）由（1）得22sin1cosyαα-'=，令0y'=即1sin2α=，又π4α≤≤，从而π6α=.……………………9分.当π6α≤y'ππ64αy'.所以当π6α=时，2sin4cosyαα-=+取得最小值，…………………13分此时π6OP==km），即点P在OA上距O处.【答】变电站建于距O处时，它到三个小区的距离之和最小.…………15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()2222yxCabab：+＝1＞＞过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且(13)B--，.（1）求椭圆C和直线l的方程；（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线2222440xmxyym-+++-=与D有公共点，试求实数m的最小值．【解】（1）由离心率e==223ab=.①………………2分又点(13)B--，在椭圆2222:1yxCab=+上，即2222(3)(1)1ab--=+.②………………4分解①②得22124ab==，，故所求椭圆方程为221124yx+=.…………………6分由(20)(13)AB--，，，得直线l的方程为2yx=-.………8分（2）曲线2222440xmxyym-+++-=，即圆22()(2)8xmy-++=，其圆心坐标为(2)Gm-，，半径r=，表示圆心在直线2y=-上，半径为.…………………10分由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑0m??,3220mmm+?-+不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点A可作曲线()yfx=的三条不同切线，m的范围是(3,2)--.……22．（本小题满分14分）已知函数2()2fxxx=+.（Ⅰ）数列11{}:1,(),nnnaaafa+'==满足求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）已知数列11{}0,()(*)nnnbbtbfbnN+==∈满足，求数列{}nb的通项公式；（Ⅲ）设11,{}nnnnbccb++=数列的前n项和为Sn，若不等式nS22、(本小题满分14分)解：（I）()22fxx'=+，………1分122nnaa+∴=+122(2)nnaa+∴+=+11{2},2(2)2nnnaaa-+∴+=+为等比数列1322nna-∴=?-…………4分（Ⅱ）由已知得0nb，211(1),nnbb++=+……1分1lg(1)2lg(1),nnbb+∴+=+∴又1lg(1)lg(1)0,bt+=+≠所以{lg(1)nb+的公比为2的等比数列，∴12(1)1nnbt-=+-。………8分（Ⅲ）212,kkkcbb+=+12,kkkbbb+∴+=1111(2)111kkkkkkkbbcbbbb+++++-===-，nk,,2,1=1212231111111()()()nnnnScccbbbbbb+∴=+++=-+-++-211,(1)1ntt=-+-0,t11,t∴+nSn∴∈在[1,)+∞上是增函数1nSS∴≥211(1)1tt=-+-21,2ttt+=+又不等式nS,2tttλ+∴+故λ的取值范围是(,-∞21)2ttt++…………14分