2021年-2021年高考数学试题(陕西理)高考数学试卷__全国卷Ⅲ理科

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2021年-2021年高考数学试题(陕西理)高考数学试卷__全国卷Ⅲ理科2021年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案(四川陕西云南甘肃等地区用)源头学子小屋本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟第I卷参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的)(1)已知α为第三象限角,则2α所在的象限是(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限(2)已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m的值为(A)0(B)-8(C)2(D)10(3)在8(1)(1)xx-+的展开式中5x的系数是(A)-14(B)14(C)-28(D)28(4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为(A)16V(B)14V(C)13V(D)12V(5)设137x=,则(A)-2abc===,则(A)a(A)0xπ≤≤(B)744xππ≤≤(C)544xππ≤≤(D)322xππ≤≤(8)22sin2cos1cos2cos2αααα?=+球的表面积公式S=42Rπ其中R表示球的半径,球的体积公式V=334Rπ,其中R表示球的半径(A)tanα(B)tan2α(C)1(D)12(9)已知双曲线2212yx-=的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且120,MFMF?=则点M到x轴的距离为(A)43(B)53(C3(D(10)设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是(A)2(B)12(C)2-(D1(11)不共面的四个定点到平面α的距离都相等,这样的平面α共有(A)3个(B)4个(C)6个(D)7个(12)计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:例如,用十六进制表示:E+D=1B,则A×B=(A)6E(B)72(C)5F(D)B0第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上(13)经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多人(14)已知向量(,12),(4,5),(,10)OAkOBOCk===-,且A、B、C三点共线,则k=(15)曲线32yxx=-在点(1,1)处的切线方程为(16)已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是AB上的点,则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是三、解答题:(17)(本小题满分12分)已知函数2()2sinsin2,[0,2].fxxxxπ=+∈求使()fx为正值的x的集合(18)(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为0.05,甲、丙都需要照顾的概率为0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125,(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率(19)(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面1)求证AB⊥面VAD;2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小(20)(本小题满分12分)在等差数列{}na中,公差0d≠,2a是1a与4a的等差中项,已知数列1a,3a,1ka,2ka,……,nka,……成等比数列,求数列{}nk的通项nk(21)(本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(22)(本小题满分14分)设1122(,),(,)AxyBxy两点在抛物线22yx=上,l是AB的垂直平分线,(Ⅰ)当且仅当12xx+取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;(Ⅱ)当121,3xx==-时,求直线l的方程2021年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案(四川陕西云南甘肃等地区用)参考答案一、DBBCA,CCBCD,DA二、13.3,14.23-,15.x+y-2=0,16.3三、解答题:(17)解:∵()1cos2sin2fxxx=-+……………………………………………2分1)4xπ=+-………………………………………………4分()012sin(2)04fxxπ∴?-sin(2)42xπ?--…………………………………………6分5222444kxkπππππ?-++……………………………8分34kxkπππ?又[0,2].xπ∈∴37(0,)(,)44xπππ∈?………………………………………………12分另法:22()2sinsin22sin2sincos2sin(sincos)fxxxxxxxxx=+=+=+()fx为正值当且仅当sinx与sincosxx+同号,在[0,2]xπ∈上,若sinx与sincosxx+均为正值,则3(0,)4xπ∈;若sinx与sincosxx+均为负值,则7(,)4xππ∈所以所求x的集合为37(0,)(,)44πππ(18)解:(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C,……1分则A、B、C相互独立,由题意得:P(AB)=P(A)P(B)=0.05P(AC)=P(A)P(C)=0.1P(BC)=P(B)P(C)=0.125…………………………………………………………4分解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分(Ⅱ)∵A、B、C相互独立,∴ABC、、相互独立,……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3PABCPAPBPC??==??=……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7pPABC=-??=-=……12分(19)(本小题满分12分)四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD1)求证AB⊥面VAD;2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.证法一:(1)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB又面ABCD是正方形,则AB⊥CD,故AB⊥面VAD(2)由AB⊥面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由△VAD是正△,则AF⊥VD,由三垂线定理知BF⊥VD,故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角设正方形ABCD的边长为a,则在Rt△ABF中,,AB=a,AF=23a,tan∠AFB=33223==aaAFAB故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为332arctan证明二:(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD.…………1分建立如图空间直角坐标系,并设正方形边长为1,………2分则A(12,0,0),B(12,1,0),C(-12,1,0),D(-12,0,0),V(0,02),∴1(0,1,0),(1,0,0),(,22ABADAV===-……3分由(0,1,0)(1,0,0)0ABADABAD?=?=?⊥…………4分1(0,1,0)(,022ABAVABAV?=?-=?⊥(5)分又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD…………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量……………………7分设(1,,)nyz=是面VDB的法向量,则110(1,,)(,1,)0(1,2230(1,,)(1,1,0)03xnVByznznBDyz=-????=?--=??????=-???=-?=?????--=??……9分∴(0,1,0)(1,cos,73ABn?-=-,……………11分又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos7……12分(II)证法三:由(Ⅰ)得(0,1,0)AB=是面VAD的法向量…………………7分设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得?????????=+=+-=++023021021qpqmqnm解之可得?????????-=-==qpqnqm3222令q=,21则平面VDB的方程为x-y+33Z+21=0故平面VDB的法向量是)33,1,1(-=n………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos,73ABn?-=-,………………11分又由题意知,面VAD与面VDB所成的二面角,所以其大小为arccos7……12分(20)解:由题意得:2214aaa=………………………………1分即2111()(3)adaad+=+…………………………………………3分又0,d≠∴1ad=……………………………………………………4分又1a,3a,1ka,2ka,……,nka,……成等比数列,∴该数列的公比为3133adqad===,………………………6分所以113nnkaa+=?…………………………………………8分又11(1)nknnaakdka=+-=…………………………10分∴13nnk+=所以数列{}nk的通项为13nnk+=……………………………12分(21)解:设容器的高为x,容器的体积为V,……………………1分则V=(90-2x)(48-2x)x,(0∵V′=12x2-552x+4320……………………………………………7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10,x2=36∵x所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960………………………………10分又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960……………………………………12分(22)解:(Ⅰ)∵抛物线22yx=,即22yx=,∴14p=,∴焦点为1(0,)8F………………………………………………1分(1)直线l的斜率不存在时,显然有12xx+=0……………3分(2)直线l的斜率存在时,设为k,截距为b即直线l:y=kx+b由已知得:12121212221kbkyyxxyyxx?++?=?+??-?=-?-?………………………………5分2212122212122212222kbkxxxxxxxx?++=?+????-?=-?-?22121212212kbkxxxxxx+?+=?+?????+=-??…………………………………7分2212104bxx?+=-+≥14b?≥即l的斜率存在时,不可能经过焦点1(0,)8F………………………8分所以当且仅当12xx+=0时,直线l经过抛物线的焦点F…………9分(Ⅱ)当121,3xx==-时,直线l的斜率显然存在,设为l:y=kx+b……………………10分则由(Ⅰ)得:22121212212kbkxxxxxx+?+=?+????+=-??12102122kbkxx+??+=?????-=-??………………………………11分14414kb?=?????=??……………………………………………13分所以直线l的方程为14144yx=+

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