2021年上海高考数学试卷(理工农医类)详细解答

2021年上海高考数学试卷(理工农医类)详细解答2021年上海高考数学试卷（理工农医类）详细解答试卷整理者：江苏唐新进考生注意：1．答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．2．本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、函数)1(log)(4+=xxf的反函数)(1xf-=__________。解答：1441)1(log)()()(4-=?=+?+=xfxfxxxxf反函数)(1xf-=14-x2、方程0224=-+xx的解是__________解答：0120)22)(12(0224=?=?=+-?=-+xxxxxx3、直角坐标平面xoy中，若定点)2,1(A与动点),(yxP满足4=?，则点P的轨迹方程是__________。解答：设点P的坐标是(x,y)，则由4=?知04242=-+?=+yxyx4、在10)(ax-的展开式中，7x的系数是15，则实数a=__________。解答：7x的系数2181)(15)(33710-=?=-?=-?aaaC5、若双曲线的渐近线方程为xy3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。解答：由双曲线的渐近线方程为xy3±=，知3=ab，它的一个焦点是()0,10，知1022=+ba，因此3,1==ba双曲线的方程是1922=-yx6、将参数方程???=+=θθsin2cos21yx（θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。解答：4)1(22=+-yx7、计算：112323lim-+∞→+-nnnnn=__________。解答：112323lim-+∞→+-nnnnn=38、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示）解答：734915503549355015=?+?9、在ABC?中，若?=120A，AB=5，BC=7，则ABC?的面积S=__________。解答：由余弦定理???-+=120cos2222ACBCACBCAB解的AC=3，因此ABC?的面积4315120sin21S=????=ACAB10、函数[]π2,0|,sin|2sin)(∈+=xxxxf的图象与直线ky=有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________解答：[][]πππ2,,sin,0,sin3)(∈-∈=xxxxxf从图象可以看出直线ky=有且仅有两个不同的交点时,3111、有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长分别为)0(5,4,3aaaa。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是__________。解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为a5的边重合在一起，表面积为242a+28三棱柱有两种，边长为a4的边重合在一起，表面积为242a+32边长为a3的边重合在一起，表面积为242a+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为122a+48最小的是一个四棱柱，这说明202148122824222150b且0C．0D．0≥b且0=c解答：没有实数解个不同实数解有个不同实数解有,0)3(3,0)2(4,0)1()(0)()(2=++cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是方程02=++cbxx有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应0一、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分）已知直四棱柱1111ABCDABCD-中，12AA=，底面ABCD是直角梯形，A∠为直角，//ABCD，4AB=，2AD=，1DC=，求异面直线1BC与DC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）[解]17．[解法一]由题意AB//CD，BAC1∠∴是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得5=AC，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得13,3,2,90=∴==?=∠CBHBCHCHB又在1CBCRt?中，可得171=BC，在.17173arccos,171732cos,112121211=∠∴=?-+=∠?ABCBCABACBCABABCABC中∴异而直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0）),2,3,2(1--=∴BCBC与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos.17173cos11===θθ∴异面直线BC1与DC所成角的大小为.17173arccos18．（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程255(1)(1)2izizizi-+--+=+（i为虚数单位）无解．[证明]原方程化简为.31)1()1(||2iziziz-=+--+设yixz+=x(、)Ry∈，代入上述方程得.312222iyixiyx-=--+???=+=+∴)2(322)1(122yxyx将（2）代入（1），整理得.051282=+-xx)(,016xf方程∴19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A、B分别是椭圆2213620xy+=长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF⊥．（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．[解]．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）设点P的坐标是},4{},,6{),,(yxFPyxAPyx-=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+?????=+-+=+xxxxyxxyx或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能Pyxy∴==（2）直线AP的方程是.063=+-yx设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是2|6|+m，于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+mmmm解得又椭圆上的点),(yx到点M的距离d有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=xxxxyxd由于.15,29,66取得最小值时当dxx=∴≤≤-20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．假设某市2021年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？解：（1）设中低价房面积形成数列{}na，由题意可知{}na是等差数列，其中a1=250，d=50，则,22525502)1(2502nnnnnSn+=?-+=令,4750225252≥+nn即.10,,019092≥∴≥-+nnnn是正整数而∴到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知nnba85.0有250+(n－1)50400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2021年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．对定义域分别是fD、gD的函数()yfx=、()ygx=，规定：函数()()()()()fgfgfgfxgxxDxDhxfxxDxDgxxDxD??∈∈?=∈????∈?当且当且当且．（1）若函数1()1fxx=-，2()gxx=，写出函数()hx的解析式；（2）求问题（1）中函数()hx的值域；（3）若()()gxfxα=+，其中α是常数，且[]0,απ∈，请设计一个定义域为R的函数()yfx=，及一个α的值，使得()cos4hxx=，并予以证明．解（1）?????=+∞?-∞∈-=11),1()1,(1)(2xxxxxh（2）当.21111)(,12+-+-=-=≠xxxxxhx时若,4)(,1≥xhx则其中等号当x=2时成立，若,4)(,1≤,2cos2sin)(πα=+=xxxf则,2sin2cos)4(2cos)4(2sin)()(xxxxxfxg-=+++=+=ππα于是.4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(xxxxxxfxfxh=-+=+?=α[解法二]令2,2sin21)(πα=+=xxf，则,2sin21)2(2sin21)()(xxxfxg-=++=+=πα于是.4cos2sin21)2sin21)(2sin21()()()(2xxxxxfxfxh=-=-+=+?=α22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P，22(2,2)P，33(3,2)P，…，(,2)nnPn，其中n是正整数．对平面上任一点0A，记1A为0A关于点1P的对称点，2A为1A关于点2P的对称点，……，nA为1nA-关于点nP的对称点．（1）求向量02AA的坐标；（2）当点0A在曲线C上移动时，点2A的轨迹是函数()yfx=的图象，其中()fx是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x∈时，()lgfxx=，求以曲线C为图象的函数在(]1,4的解析式；对任意偶数n，用n表示向量0nAA的坐标[解]（1）设点),(0yxA，A0关于点P1的对称点A1的坐标为),4,2(1yxA--A1关于点P2的对称点A2的坐标为)4,2(2yxA++，所以，}.4,2{20=AA（2）[解法一])(},4,2{20xfAA∴=的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，基线C是函数)(xgy=的图象，其中)(xg是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈xxgxxxgx时当于是时[解法二]设???=-=-42),,(),,(222220yyxxyxAyxA于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-当),1lg(4.63,412-=+≤xgx时当（3）nnnAAAAAAAA242200-+++=由于)(2,2143210212222nnnkkkkPPPPPPAAPPAA---+++==得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2})2,1{}2,1{}2,1({213-=-=+++=-nnnnn